대학생, 공부할 때 증명 중요한가요
- 글쓴이
- 겸손
- 등록일
- 2017-03-29 01:59
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고등학교 때는 거의 모든 과정을 유도 증명하려고 했고 실제로 그게 수능에서도 중요했죠
대학와서도 무작정 외우는 것을 싫어하고 또 그러면 외워지지도 않아서 가급적 이해하고 증명하고 넘어가려고 했는데,
공대에서 배우게 되는 전공의 양이 워낙 방대하다보니까 어느 순간부터 거의 필터링없이 그렇다 하면 그런가보다 하고 받아들이고 있는 저를 발견하게 되어요.
가령, 선형대수에서 determinent 의 기본 성질인 det(AB)=det(A)det(B) 라는 식이 나오면 왜그럴까 증명하기 귀찮아서 그냥 그런가보다 하고 넘어가려다가 이러면 안되지 하고 움찔해요
반도체소자 페르미 디락 함수 1/{1+exp(E-Ef/kT)} 라는 식이 나오면 왜 그럴까 생각하기보다는 그냥 그런가보다 하고 받아들이고 넘어가요
생각을 해보면 공식을 외우는게 중요한게 아니라 그 공식이 유도되는 과정을 통해서 그 공식이 지닌 진정한의미를 파악하는게 공부의 목표이고 연구개발직을 목표로하는데 본질을 잘알아야지 하다가도, 또 어찌 생각해보면 제가 자연과학자가 될 것도 아니고 공학자가 될 것인데 굳이 세세한것 까지 증명을 해야하나...
' 도구를 사용할 사람으로서 도구의 사용법만 알면 되지, 어떠한 도구의 작동원리까지 알아야하나??' 라는 생각이 드는데 여러분의 생각은 어떠한지 궁금해서 글올려봐요
다른 사람들 의견
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돌아온백수
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본질이 뭐냐에 따라 다르죠.
공식은 사람이 만든거죠. 자연 현상을 설명하기 위해서 만든거죠.
그러면, 공식이 본질일까요? 자연이 본질일까요? -
크립토
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이곳에서 본 글 중에서 가장 멋진 고민을 적어주셨다고 생각합니다. 모든 공부의 본질은 "왜?" 와 "어떻게?" 라고 봅니다. 공식만을 외우는 것은 구글이나 네이버를 이길 수 없습니다.
공식을 외우다가는 시간이 지나면 다 잊어버립니다. 네이버와 구글에 다 있어서, 그러한 단편적 지식을 외우는 것은 사회에서 전문가라고 인정받기 어렵습니다.
행렬식의 수학적 정의를 외우기만 해서는 문제해결에 한계가 있지요. 2x2 경우 ad-bc 라고 하면 됩니다. 그러나 3x3, 4x4, ... . nxn 의 경우로 확장하면 공식을 외우는 것보다는 원래의 정의를 알고 이해하면, 행렬식에 관한 수많은 공식과 정리가 쉽게(?) 증명이 가능합니다.
당장의 학점, 눈앞의 졸업, 취업도 당연히 중요합니다만, 인생을 길게 보셔야 합니다. 고등학교때는 수능이라는 것 때문에 그렇게 공부하셨어도, 대학이후는 더 근본적인 것에 대한 고민을 하시길 감히 추천합니다.
원리를 모르고 사회에 나가면 그저 평범한 사람이 될 것입니다. 전문가가 되시려고 대학에 간 것 아닐까요?
공식도 인간이 만든 것입니다. 남이 만들어 놓은 공식을 그저 받아 먹기만 한다면, 즉, 엄마가 해주시는 밥 받아먹기만 하시면, 나중에 본인 스스로 할 수 있는 것이 없지요? 누가 만들어 줘야만 하고, 만들어 줄 때까지 기다려야 합니다. -
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다만 공부의 양이 엄청 많은 대학에서는 일일이 증명하는 것이 부담스러울 수 있습니다. 그렇지만, 그래서 공부에 투자하는 시간이 많이 필요합니다. 차츰 효율성을 높이는 것이 중요합니다. 한 문제 고민에 며칠씩 고민해서라도 그 밑에 담겨있는 원리와 방법이 익숙해 지시면, 이후 그런 문제들이 반나절, 한시간, 10분이면 해결될 것입니다.
당장 시험이 눈앞에 있을때는 공식을 외울 필요가 있지만, 길게 보시면 그 원리를 아는 것에 투자하시길 권해드립니다.
"고기도 먹어본 사람이 먹는다." 라고들 하시지요? 문제해결을 고민하고, 본질을 꿰뚫고서 문제를 해결해 보신분들은 나중에 어떠한 문제가 닥쳐도 해결하실 수 있는 자신감과 해결능력을 갖게 됩니다.
외람되지만, '수학 전공자' 가 수년전 미국 최고의 직업군에 선정된 적이 있고, 매년 top 5~10위 안에 속합니다. Mathematician 이라는 직업이 우리나라에서는 생소하지만, 미국에서는 최고의 직업군으로 각광을 받습니다. -
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2014년 Wall Street Journal에 보도내용입니다.
왜그럴까요? 수학공식을 많이 알아서 일까요? 미국에 수학 입시학원이 많아서 일까요?
미국 수학전공은 문제해결능력이 탁월해서 입니다. 어떠한 현실의 문제를 보고, 분류하고, 체계를 세우는 것을 배웁니다. 현업에서 필요한 지식(공식?)을 조금만 배우면, 오히려 그 분야에서 탁월한 결과를 내고 있기 때문입니다.
결국 특정분야의 공식만 많이 외우고 있는 것보다는 문제를 보고, 분석 정리하고, 근본적인 해결방안을 세우고, 그 해답을 찾아가는 능력을 높이 사기 때문입니다.
글 쓰신 분의 전공이 무엇이냐도 중요합니다만, 그 분야에서 나온 수많은 지식들 밑에 놓여 있는 근본을 고민하는 것이 대학 공부의 첫째입니다.
글 쓰신 분이 고민하는 것은 절대 잘못된 생각이 아니고, 100점짜리 고민이 맞습니다. 힘들어 마시고, 올바른 방향으로 가고 계시는 것이라 확신을 드리고 싶습니다. 인생의 중요한 고민을 하시게 됨을 축하합니다.^^ -
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유명한 요리전문가(?) 백?? 씨라는 분이 계시지요? 그분이 모든 요리를 해보신 것은 아닐 것입니다. 그렇지만, 단순히 조리법(공식?)만을 많이 알아서 전문가일까요?
음식재료, 문화, 풍습 등 수많은 근본에 대한 고민이 있으셨다고 보입니다. 그런 근본에 대한 고민과 노력과 경험이 쌓여서 지금의 전문가 위치에 계신다고 저는 판단하고 있습니다.
20대가 가장 왕성한 스포츠분야도 있지만, 대부분의 인생은 30, 40, 50, 60, 그 이상의 삶이 있습니다. 길게 보시고 서두르지 않는 것도 중요하다고 봅니다.^^ -
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글 쓰신 분이 연구개발직에 나가시고 연구개발자로 살아 가시는 10년, 20년 뒤에 필요한 공식이 이미 다 나와 있을까요? 그때쯤이면 5G, 6G, 7G 등 오늘 당장에는 현존하지 않는 새로운 기술과 환경이 올 것입니다.
단순한 공식과 지식만으로 그러한 시대를 선도하는 전문가가 될 수 있을까요? 근본을 정화하게 알기 위해 노력하는 사람들이 분명코 새로운 시대를 리딩하는 것이라 봅니다.
근본을 이해하려고 노력하시면, 익숙해 지시면, 어떤 분야에서도 전문가가 될 것입니다. 우리나라에 필요한 것이 각 분야의 전문가들 이라고 봅니다.^^ -
취업준비를
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대학과정에서 공부하고 직장생활을 해본바에 따른 소견은..
엔지니어는 내놓은 공식들을 이용해서 이윤을 창출해내는것이기 때문에,,
공식마다 세세한 증명들을 이해하면 좋겠으나, 증명이 주가될 정도는 아니다라고 생각합니다.
공식을 만들어내고, 공식을 증명하고, 어떻게 만들어진지에 대해 더 궁금하면 그쪽 진로를 가는것도 좋다고 생각하네요. -
빨간거미
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개념과 원리를 알지 못하면, 어떤 문제를 풀기 위해 어떤 공식을 사용해야 할지를 알 수가 없습니다.
문제해결능력과 바로 관련되지요.
그리고 원리를 이해하려는게 시간이 오래 걸리는 것 같지만, 결코 그렇지 않습니다.
그 다음을 나아가는 시간이 점점 줄어들거니까요. -
통나무
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말을 세분하자면 도구의 사용법만을 아는것은 그냥 일반 소비자고,
소비자가 쓰는 도구가 고장나면 가져 고쳐주는게 기술자일것이고, 여기서는 아는 범위와
그 도구를 개선하고 좋게 하는 입장에서 필요한 지식의 범위가 다를텐데요.
어쨌거나 최종적인 원리적 부분은 수학자들일것이고, 수학자들의 정리나 증명수준까지 하기에는 범위가 너무 넓어지니, 그것을 배우고 응용하는 입장에서 연관된 수학교과서를 배우고, 그리고 나서 필요할때 다양한 관점에서 쓰여진 교과서를 훓어보고(기본틀은 배웠으니), 접근방법이나 재구성하는 사고력정도를 배우는게 우선아닐까 생각합니다.
선형대수 길버트 스트랭교수 인터넷에 공개된 강의중에 캘쿨르스 강의도 있는데 거기에 1판 교재도 오픈되어 있는데 접근시키는 방법은 일반 교과서 패턴과는 약간 다르죠. 거기다 마지막 장에 이 캘쿨루스를 배우고 각자 필욯나것에 따라 어디로 튈지에 대한 언급. 어떤 연관성을 가지고 어떤 관심에 따라 교과서를 만드느냐를 보고 고민해보면 굳이 모든것을 증명할게 아니라 내가 필요한 부분이 어떤 연관성으로 어떻게 수학과 실제 현실이 접목되고 그걸 추상화시키느냐를 배우면서 자기 사고훈련을 해야되겠죠. 그래서 외국 교과서들 보면 끊임없이 개선하고 접근방법을 고민하고 전하는 방법을 고민하죠. -
돌아온백수
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좋은 예가 나노 과학/공학 입니다.
사실은 매크로/마이크로 시대에도 공식으로 설명하지 못하는 수많은 현상을 노이즈로 치부하고 노이즈가 적은 부분으로 공식을 적용하며 살았거든요.
그런데, 나노 크기로 물질이 줄어들자, 노이즈가 대세가 되어버려서 매크로 시대의 공식이 맞아들어가지 않아요.
공식에 의지 하던 과학자/엔지니어 들은 누군가가 새로운 공식을 보여줄때까지 계속 나노시대를 모른척하며 지내야 하는 거죠. -
돌아온백수
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그렇다면, 누가 새로운 공식을 만들어가는가?
바로, 남들이 노이즈 라고 무시하던 것들을 호기심을 가지고 연구하고 추적하던 사람들입니다.
여기에서, 벽이 생기죠. 맨땅에 헤딩하며, 땅파는 일을 누가 하려고 하는가? 특히, 연구비 주는 공뭔들은 절대 넘어갈 수 없는 벽입니다. -
Allen
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저는 학부로 공학을 전공했는데 같은 고민을 했어요.
공학의 원리를 알려다 보니 물리학에 관심이 많아져 스스로 어느정도 공부하다가,
결국에 지금은 수학과 대학원에 재학중입니다.
공학에서 원리를 아는것은 중요합니다. 하지만 공학의 본질은 원리를 아는데 그치지 않아요.
본인이 하고싶은거 재밌는걸 하라고 추천하고 싶어요.
원리를 더 알고싶다면 그리고 그걸 알아가는게 재밌다면 더 깊이 공부하세요.
하지만 응용에 필요할거 같아서 재미없는 공부를 굳이 할 필요는 없을거 같아요.
참고로 자연과학 수준의 자세한 원리를 모르고도(물론 언젠가 필요할때 다시 책필날이 오겠지만) 할 수 있는 연구분야는 많아요.
(실제로 공대 연구실에서 일해본 경험입니다.) -
겸손
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다 꼼꼼히 읽어보았습니다. 본질을 이해하고 싶지만 대학교와서 점점 고학년이되니까 시간적으로나 제 지능적으로 한계가 부딪히더라고요 이 글을 올린게 멕스웰 볼츠만 분포하다가 유도과정을 따라가기가 힘들 것 같다는 생각이들어서 슬퍼서 글을 올렸거든요. 사실 멕스웰 볼츠만 분포 유도... 할 줄알면 좋겠지만 공학자로써 이게 의미하는 바 정도만 알면 되지... 또 자연을 연구해서 새로운 공식을 탄생시킬 인간들은 자연과학자...그중에서도 몇몇 특출난 학자들 몫 이라고 생각이 들어서 올렸어요 가급적 이해하려고 노력하겠습니다. 공부를 하면 할수록 제가 아는게 없어지는것같아슬프네요 ㅠ
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크립토
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겸손님/ 당대 최고의 천재들이 수십, 수백년 걸쳐 만들어낸 결과를 모아 놓은 것이 대학교재입니다. 우리가 며칠의 짧은 기간에 모두 이해하는 것은 겸손님 만이 아닌 모두에게 어려운 일 입니다.
다만 자연과학자, 공학자를 구분하는 것이 오히려 위험합니다. '흑묘백묘' 라는 말이 있지요? 사회는 문제를 해결하는 사람이 필요합니다. 며칠전 월드컵 예선에서 골을 넣은 홍정호 선수는 공격수가 아니지요? 문전 찬스에서 "나는 수비수라서 공격수인 다른 선수가 해결해" 라고 바랐다면 어떨까요?
공학자라서 공식이 의미하는 정도만 알면 된다는 것만도 어려운 것이기는 합니다.
자동차를 운전하는 것만 알겠다면 자동차 공학자가 아닌, 일반 사용자일 뿐입니다. 겸손님께서 자동차 설계나 제작 등 운전스킬 이상의 더 깊은 자동차 공학을 아실려고 한다면, 일반 사용자가 아는 수준보다는 그 원리를 아셔야 할 것 같습니다.
즉, 겸손님께서 일반사용자가 될 것인지? 아니면 자동차 공학자가 될 것인지? 같은 의미이겠지요?
두가지 모두 맞는 얘기입니다. 다만, 겸손님께서 가고자 하는 길이 공학자라면, 더 깊은 고민이 필요할 것 같다는 생각에서 글을 썼습니다.
대개는 본인이 뭘 모르는 지? 조차도 모르고 수업을 듣습니다. 너무 낙담하지 마시고, 힘 내시길 바랄께요.^^ -
MEEDSP
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수학과 입니다. 증명만 해오던 제가 감히 말씀드려보는데, 증명하는 과정을 외우지 않고 혼자 증명을해볼때 생각해야하는 범위가 생각보다 넓습니다. 따라서 기본적인 대학 수학 공식(3 4 학년전공 수학)들은 증명하려면 칠판 1번씩 갈아야하는 증명들도 많습니다. 하지만 반대로 교수들은 이모든것을 외울까요? 아니죠 증명의 흐름을 파악하는거죠 흐름을 알면 원리가 보입니다 원리가 보이면 응용이 가능한거죠 따라서 흐름을 아는것이 엄청나게 중요한것같습니다 그리고 정말 무엇보다 중요한것은 증명의 흐름을 말로 직관적으로 표현할수 있는 능력이 훨씬중요한것같습니다 왜냐하면 무언가를 보여줬을때 이건 이거지 않나요? 왜냐면 이거기 때문이에요 라고 개략적으로 말할수있는능력이 있다는 것은 그 것에 대해서 완벽하게 이해하지않고서야 직관력이 생길수가 없기때문입니다. 따라서 증명의 흐름을 파악하는게 엄청나게 도움이될겁니다
