Riemann stieltjes 적분에 대해서.
- 글쓴이
- quicksilver
- 등록일
- 2016-04-05 13:05
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Counterexamples in analysis 란 책에 첫번째 그림과 같은 반례가 적혀 있습니다.
구체적으로 [a,b] [b,c] 구간에서 Riemann stieltjes 적분 가능하지만 [a,c]에서 불가능한 예라고 쓰여 있는데 반례를 보면 아무리봐도 [a,c] 구간에서 적분이 가능합니다. (두번째 그림은 루딘 PMA 연습문제인데 3 a)가 첫번째 그림과 같은 경우에 stieljes 적분이 가능한 필요충분 조건을 말해주고 있습니다.) 또한 stieltjes 적분이 아니라 보통 Riemann 적분에서 증명한 정리 (유계인 실함수 f에 대해서 [a,b], [b,c] 구간에서 Riemann적분이 가능하면 [a,c] 구간에서 Riemann적분이 가능하다)와 같은 증명방법으로 [a,c] 구간에서 Riemann stieltjes 적분이 가능하다는 증명이 가능한 것 같습니다.
정리하면 책의 반례는 잘못된 반례이고 유계인 실함수 f와 monotone increasing하는 함수 g 에 대해서 [a,b] ,[b,c]구간에서 f가 g에대한 stieltjes 적분이 가능하면 [a,c]구간에서도 가능한 게 아닌가 하는 것입니다.
혹시 답변해주실 분이 있을까 해서 질문 올립니다.
구체적으로 [a,b] [b,c] 구간에서 Riemann stieltjes 적분 가능하지만 [a,c]에서 불가능한 예라고 쓰여 있는데 반례를 보면 아무리봐도 [a,c] 구간에서 적분이 가능합니다. (두번째 그림은 루딘 PMA 연습문제인데 3 a)가 첫번째 그림과 같은 경우에 stieljes 적분이 가능한 필요충분 조건을 말해주고 있습니다.) 또한 stieltjes 적분이 아니라 보통 Riemann 적분에서 증명한 정리 (유계인 실함수 f에 대해서 [a,b], [b,c] 구간에서 Riemann적분이 가능하면 [a,c] 구간에서 Riemann적분이 가능하다)와 같은 증명방법으로 [a,c] 구간에서 Riemann stieltjes 적분이 가능하다는 증명이 가능한 것 같습니다.
정리하면 책의 반례는 잘못된 반례이고 유계인 실함수 f와 monotone increasing하는 함수 g 에 대해서 [a,b] ,[b,c]구간에서 f가 g에대한 stieltjes 적분이 가능하면 [a,c]구간에서도 가능한 게 아닌가 하는 것입니다.
혹시 답변해주실 분이 있을까 해서 질문 올립니다.
다른 사람들 의견
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세아
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f(1)=0이 되도록 반례를 바꾸어야 합니다. 오타겠지요.
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quicksilver
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세아님 항상 감사합니다. 그런데 f(1)=0이면 [1,2]에서 적분이 불가능하게 되는 것 같은데요..
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세아
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아... 두 책에서 "Riemann-Stieltjes integrable"을 서로 다르게 정의하고 있는 듯 합니다. 가끔 그런 일이 있는데, 참고로 http://www.math.unl.edu/~jorr1/math826/RiemannStieltjes.pdf 이 링크의 "6.7.3. Examples (1)"을 확인해 보세요.
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quicksilver
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정의를 다르게 하고 있을 줄은 몰랐네요. 세아님 정말 감사합니다.
