괴델을 위시하는 수리 논리학 질문드립니다

글쓴이
tpou08
등록일
2016-09-26 13:38
조회
3,504회
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댓글
6건
1차 양화 논리학의 결정 불가능성은 처치가 이미 증명했고 괴델도 godel's completeness theorem도 1차 논리의 완전함을 보여주었는데요.. 2차 논리를 포함하는 고차 논리는 leon henkin의 model 시도가 있었다고는 하나 1차 논리에 환원되는 결과를 가져왔고 결국 페아노 공리계의 완전성과 무모순성을 그 체계 안에서 증명할 수 없다는 2차 논리의 한계를 명징하게 지적한 godel's incompleteness theorem이 성립하게 되었는데요

제가 궁금한 건 hilbert program의 수정노선을 따르던 겐첸이 초한귀납법(페이노 공리계 밖 즉 순서값을 나태내는 서수까지 확장하여 귀납법 적용)을 활용하여 산술의 무모순성 정리를 증명하였는데요
힐베르트가 원하던 유한적 방법에는 해당되지 않았지만 힐베르트 그 자신도 이 방법을 쓰면 형식 체계의 무모순성을 증명할 수 있는 발판이라 생각하였기에 겐첸의 초한귀납법을 받아들였습니다

회원분들은 괴델의 불완전성의 정리(computable 유한 체계)가 함축하고 있는 본질을 극복할 수 있는 대안으로써의 초한귀납법(무한으로의 확장)을 일반적인 증명의 합의에 포함시킬 수 있다 보시나요?
수학은 한 번 증명되면 다른 학문과는 다르게 객관적 진리의 결과물로 인정받으니 괴델의 논증을 반증하려는 시도는 없겠으나 새로운 증명법으로 그 대안을 겐첸이 제시하였고 그걸 학계에서는 그 방법을 용인하는지 궁금하네요

[이 게시물은 sysop님에 의해 2016-09-29 13:25:32 자유게시판에서 이동 됨]

  • Hithere ()

    죄송하지만, 그건 학계에서 물어보셔야죠, 여기서 물어 보시면 안되죠....
    딴지를 걸어보면 학계에서 검토되지 않은 이런 류의 글은 그냥 어려운 단어를 조합해서 만든 경우가 많던데요....  왠지 로봇으로 돌리면 나오는 글 같아서 찝찝하네요.

  • 댓글의 댓글 세아 ()

    글쓴분의 내용 중 틀린 부분 없습니다 ^^

  • 댓글의 댓글 Hithere ()

    부담스러울 정도로 생소하면 재가 무식해서 겠지요?

  • 댓글의 댓글 세아 ()

    그렇다기 보다는, 20세기초 수학계에 불어닥친 수학의 기반에 대한 의구심과 여러 위기들을 해결하기 위한 수학적 기교들에 대한 이야기이니 생경한 것은 너무나도 당연합니다. 사실 수학자들 대부분도 크게 신경 쓰지 않습니다. 쓰게 되면 그 때나 갖다 쓰지 뭐 하는 정도이지 그것에 크게 의미를 부여하는 것 같지는 않습니다. 물론 깊게 파고들어 해당분야의 저기 저 아래 기초로 내려가보면 이런 문제들과 만날 수 밖에 없습니다만, 그건 그렇게까지 깊게 들어가버린 수힉자들이나 고민하면 되는 문제이고요.

  • 남영우 ()

    학계(?)에서 받아들였으니 정리로 명명이 되었을 것입니다.

  • 세아 ()

    깊숙히 들어가면 쓰이곤 합니다. 위상수학이나 해석학 가환대수학 등에서 초한귀납법을 사용하는 경우가 있습니다. axiom of choice 혹은 Zorn' lemma만큼 자주 쓰이지는 않는 듯 합니다만, 사실상 비슷합니다. 좋은 공리 추가해서 더 많은 재미난 명제들을 얻어낼 수 있다면 마다할 이유 없다는게 수학입니다.

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