scalar/vector function에서 수학 기호 R^n, V^n과 vector function/field의 차이 질문입…

글쓴이
몽굴
등록일
2017-11-25 02:50
조회
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8건
안녕하세요.

기계공학과 대학원 진학 예정인 학생입니다.

정확한 수학 기호와 여러 가지 함수들의 정의의 차이가 잘 이해되지 않아 질문드립니다.

scalar function 과 vector function이 각각 n개의 실수 쌍을 1개의 실수 또는 벡터(*여기서 벡터 대신 단순히 n개의 실수쌍이라고 봐도 되나요?)로 대응 시키는 함수라고 알고있는데,

이것을 수학 기호로 표현할 때 각각

IR^n → IR, IR^n → IR^n이라고 표현해야 하나요?

아니면 vector function에서는 IR^n → V^n 이라고 표현해야 하나요?

(위에서 *표시한 질문과 같은 내용일 수도 있겠네요.)

둘 다 가능하다면 V^n → IR 이런 식의 표현도 가능한 건가요?

IR^n과 V^n이 어떻게 다른 건 지 궁금합니다.

또, 위와 같은 질문일 수 있는데 V^1이란 표현도 사용이 되는 지 궁금합니다.
(벡터의 성분이 1개라고 하면 스칼라가 되는데 IR이 아닌 V1으로 굳이 표현하기도 하는 지)

마지막으로 vector function과 vector field의 차이도 IR, V에 의해 해석할 수 있나요?

vector function에서 독립변수를 x,y,z 3개로 주면

vector field와 똑같은 형태로 표현되는데

field는 공간 상의 점마다 하나의 벡터량을 대응시키는 것이고,

function은 실수 쌍의 독립 변수에 위치벡터를 대응시키는 것인데

그래프로 나타낼 때는 명확한 차이가 느껴지는데 식으로 보면 같게 표현되는 것 같아서 헷갈리네요.

vector function과 vector field에 대한 정의는 아래 글을 참고했습니다.
http://www.solitaryroad.com/c251.html

  • 돌아온백수 ()

    수학은 언어입니다. 과학을 표현하는 언어죠.

    영어 배울때, 단어의 스펠링 하나 하나 뜯어놓고, 왜 이렇게 모아 놓고, 이런 뜻이라고 우기냐? 하며 고민 하십니까?

  • 댓글의 댓글 몽굴 ()

    답변 감사합니다! 명심하겠습니다.

  • 세아 ()

    모든 궁금증의 원인은 아마도 벡터공간의 "정의"에 대한 이해가 부족하기 때문이 아닌가 합니다.

    벡터공간은 서로 더할 수 있고 상수배할 수 있는 집합입니다. 이 때 상수로 실수를 선택할지 복소수를 선택할지 아니면 더 일반적인 "수"란 것을 선택할지를 정해야 합니다. 말씀하시는 것으로 보아 "수"로 "실수"를 선택하시는 경우만 생각하시는 것 같습니다. 이런 상황에서라면, 벡터공간이란 서로 더할 수 있고 실수를 곱할 수 있는 집합입니다.

    이 벡터공간을 V로 쓰건 W로 쓰건 이름 붙이기는 마음대로입니다. 그런데... 벡터공간에는 중고등학교 때 배우듯이 "좌표"를 정할 수 있고, 좌표를 정해주는 순간 순서쌍으로 나타낼 수 있습니다. 그러므로 *에서 던지신 질문 "*여기서 벡터 대신 단순히 n개의 실수쌍이라고 봐도 되나요?"는 "좌표"를 정해주면 그렇게 됩니다가 답입니다.

    그러니 복잡하고 이론적인 것 제쳐두신다면, 벡터공간은 그저 순서쌍 R^n으로 생각하시면 됩니다. scalar function은 R^n->R로 vector function은 R^n->R^m 정도로 적으시면 적당합니다.

    하지만 "V^n이란 기호는 V의 원소를 n개 늘어 놓은 순서쌍"이란 뜻으로 해석되는 경우가 대부분일텐데, 일반적으로는 V가 뭔지 알 턱이 없으니 좋은 표현이 아닙니다.

    이렇게 답변을 적어 놓았습니다만... 제 생각에는 글쓴이께서 사용하시는 V라는 기호가 벡터공간을 뜻하는 듯 합니다. 그러니 "벡터공간 V에 좌표를 잘 주면 V를 R^n으로 봐도 무방하다" 정도가 이 모든 혼란을 잠재우는 답변일 수도 있겠습니다.

    그리고... "vector function과 vector field의 차이도 IR, V에 의해 해석할 수 있나요?"는 완전히 오해하고 계시는 겁니다. 위에서 제가 말씀드린 것을 이해하고 계신다면, vector function과 vector field는 기호의 문제나 좌표 선택의 문제가 아니란 것을 아시게 될 겁니다.

    vector function은 그저 R^n에서 R^m으로 가는 사상(map)일 뿐입니다. 하지만, vector field는... 이것을 map으로 이해하려면 vector bundle, section과 같은 개념이 도입되어야 하는데, 배보다 배꼽이 더 커집니다. 그냥 vector field는 공간의 각 점마다 vector 하나씩 대응시키는 방법 정도로 이해하시면 일단은 충분할 듯 싶습니다. 예를 들면 지구 각 지점마다 바람의 방향과 세기를 화살표로 나타낼 수 있잖아요, 혹은 어떤 지역의 유체의 흐름을 각 지점마다 화살표로 나타낼 수 있고요. 결국 공간의 각 점마다 화살표(즉, 벡터)를 하나씩 대응시켰습니다. 이게 vector field입니다.

  • 세아 ()

    마지막으로 "또, 위와 같은 질문일 수 있는데 V^1이란 표현도 사용이 되는 지 궁금합니다.
    (벡터의 성분이 1개라고 하면 스칼라가 되는데 IR이 아닌 V1으로 굳이 표현하기도 하는 지)"에 대해 답변을 드리자면, 무엇을 보고자 하는지에 따라 달라진다는 것이 정답이겠습니다.

    스칼라란 것은 사칙연산(덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈)을 할 수 있는 집합을 말합니다. 반면 앞서 말씀드렸듯이 벡터란 것은 서로 더할 수 있고 상수배 할 수 있는 집합을 말합니다.

    그러니 R^1을 스칼라로 이해한다면, R^1 안에 있는 원소끼리 더하고 빼고 곱하고 나누는 상황을 고려한다는 것이고, R^1을 벡터공간으로 이해한다면, R^1 안에 있는 원소들끼리는 더하는 것만 생각하고, 상수(여기서는 실수 R)를 곱하는 것은 따로 생각하겠다는 뜻입니다. 결국 "나눗셈"은 공식적(!)으로는 없지요.

    뭐 따지고 들면 결국엔 같은 이야기입니다만, 그래도 엄밀히 따져들고 들어가면 차이가 있습니다. 중요한 것은 아닙니다만.

  • 댓글의 댓글 몽굴 ()

    공업수학에서 벡터 공간의 용어만 얼핏 들어봤지 체계적으로 배우지 못해 혼란이 있었던 것 같습니다.
    덕분에 당장의 궁금증도 해결되었고 어떤 부분을 공부해야할 지도 알게 되었습니다. 답변에 귀한 시간 내주셔서 감사합니다.

  • 남영우 ()

    공대생이 보는 벡터는 크기와 방향이 있는 것으로 이해할 것입니다.

    수학의 연산입장에서 보는 벡터와 스칼라의 차이는 벡터는 덧셈(과 스칼라 곱)이 정의되고, 스칼라는 덧셈과 곱셈이 둘 다 정의됩니다. 항등원 역원도 있고, 교환법칙 및 결합법칙이 성립합니다.

    역사적으로는 3차원 벡터는 해밀턴의 4원수(quartanion) 중에서 실수 성분을 제외한 나머지 세개의 성분을 3차원 벡터라고 정의했습니다. (미국의 수리물리학자 깁스의 책에서 처음쓰인 기호로 알려져 있습니다.) 그럼 나머지 실수는?  스칼라라고 합니다. 공대생이 보는 스칼라는 실수 (또는 복소수)면 됩니다.

    점과 벡터가 구분이 되지 않는 이유는 실수공간이 평평하기 때문입니다.
    원래 벡터의 방향은 정말로 직선 방향이라서, 공간이 휘어져 있으면 접평면 (또는 접공간)위에서 정의됩니다. 그런데, 예를 들어 2차원 평면의 접평면은 어느점에서 선택해도 평면 자신이 됩니다. 그래서, 벡터 필드의 이미지가 접평면 위에 있지만, 원래 공간이 평면이면 접평면도 똑같이 평면으로 표현이 되어 좌표로 나타내면 구분이 안되는 것 처럼 보이는 것입니다. 3차원 실수공간도 마찬가지의 이유가 적용되어 똑같은 R^3 로 정의역과 치역이 표현되지만, 치역은 엄연히 벡터공간입니다.

    질문자는 차원 논의 이전에 벡터를 점과 구분하는 개념을 먼저 확립하기 바랍니다. 그걸 구분 못하면 수식의 의미를 모델링에 적용하기 어렵습니다.

  • 남영우 ()

    그리고, 스칼라 곱과 덧셈이 정의되는 공간의 대표주자가 선형대수학에서 쓰이는
    linear operator 입니다. 그래서, 무한차원에서 선형변환의 일종의 적분으로 벡터연산을 정의하여 스칼라 곱과 함께 벡터이론에 포함시킬 수 있습니다.

    그 중에 훌륭한 예를 하나 들면 푸리에 급수가 있습니다.

  • 댓글의 댓글 몽굴 ()

    댓글을 여러번 반복해서 읽어보았는데도 배경지식이 부족해 말씀을 명쾌히 이해하지는 못했습니다. 혹 추천해주시는 교재나 강의가 있으신가요?
    gilbert strang의 linear algebra 정도를 공부해봐야겠다는 생각을하고있는데, 다른 교재가 있다면 추천해주시면 감사하겠습니다.

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