프리에 트랜스퍼메이션에 대하여 .....

글쓴이
소요유
등록일
2002-04-19 16:13
조회
12,012회
추천
2건
댓글
22건
*** 저도 한가지 소개글을 올리겠습니다. 기초적이지만  자연과학에 쓰이는 방법론 중에서 그동안 기계적으로 사용해 왔던 것 중에서 개념을 알면 재미있는 것들, 머리속에 착 들어오는 것들이 대하여 쓸랍니다. 가능하면 수식은 안쓰고요.***


아마도  프리에 변환 (트랜스퍼메이션보다 훨씬 짧네요!)에 대하여는 미적분학, 해석학, 고등미적분학, 공업수학, 수리물리학 등에서 머리빠게지도록 들은 이야기일 것입니다. 특히 양자역학이나 현대물리학을  공부한느 사람들은 첫페이지부터 뜬금없이 프리에 변화이 나와 얘가 여기왜나올까 하고 의문을 갖다가도 강의가 하도 빨리 나아가니까  그냥 기계적으로 대입하여  전개하곤 했을겁니다. (저만 그랬나요 ?)

그럼 프리에 변환이  무엇인가 ?  그 '수학'이 자연과 무슨 상관있는가 ? 상관있다면 그걸 어떻게 비주얼라이즈하면  이해하기 편리할까요 ?

이렇게 생각해봅니다. 아마도 볼록렌즈는 다들 아실 것입니다. 볼록렌즈의 기능이 무엇이라고 생각하세요 ?  볼록렌즈는 빛을 모으는 기능을 합니다. 다시 말하면 들어오는 빛을 모아서 그 뒤에 상을 맺히게 합니다.  아 그렇죠 !  '들어오는 빛을 모아서  상을 만든다'죠 ?

이를 물리적으로 표현하면 '평행광인 평면파가 들어와 볼록렌즈를 지나면 한점에 맺히는 현상'입니다. 즉 렌즈는 '평면파를 점으로 변화시킨다'는 것입니다.

 이를 좀더 수학적으로 표현하면  렌즈가 바로 프리에 변환역할을 하는 것입니다 !!

이제 좀 이해되시죠 ?  즉 렌즈에 의하여 상이 맺히는 작용이 바로 프리에 변환입니다.

자 그러면 렌즈 일부 만을 뚤어 놓으면 상은 어떻게 맺힐까요 ? 상의 일부만 나타날까요, 아니면 전체상은 그대로 유지 될가요 ?  수학적으로는 프리에변화에 상수를 곱하는 격이겠죠.

답은 이때 맺힌 상은 원래 상과 같은 상이 나타난다입니다. 수학적으로는 단순하게 상수를 곱한 상태이므로 결과에 상수만큼의 변화만 있습니다.

이게 아주 중요한 역할을 하게 됩니다. 이를테면 우리가 렌즈 일부에 도달하는 조각 정보만 갖고 있더라도 프리에변환을 통하여  그 전체모습을 살펴볼 수 있다는 것입니다 !!!!

이런 개념하에서 개발된 것이 천문학에서 쓰이는 전파간섭계입니다. 전파망원경 하나는 그 자체로 렌즈역할을 할 수 있습니다. 그런데 대상을 자세히 볼 수 있는 분해능은 망원경의 크기에 반비례합니다. 그래서 여러 대의 전파망원경 (= 전파수신용 안테나)를 늘어 놓으면 그 전체가 포함된 면적만큼의 크기를 갖는 더 큰 전파망원경 역할을 하게됩니다. 그 이유는 각 전파망원경은 위의 렌즈의 일부분과 같은 역할을 하게되고, 각 전파망원경이  결국은 큰 전파망원경의 한 부분에 해당하는 조각정보를갖고 있으므로 이들을 프리에변환을 하게되면 '큰 전파망원경의 상을 복원'해 낼 수 있게 됩니다.

이런 이미지테크닉을 이용한 것이 바로  의학용 X-ray나 NMR을 이용한 CTR의 단층촬영에서 이미지를 복원하는 기술입니다.

또 한가지  서양친구들의 가장 걱정되는 병이  암인데 그중에서 유방암의 발병률이 높습니다. 유방암의 발견에 쓰이는 진단기는 일정 기간 촬영한 몇장의 단층촬영 사진을 비교하여 암을 진단하는 것입니다.  이때 단층촬영이나 X-ray 촬영은 그 촬영각도 등 촬영 조건이 서로 다릅니다. 그래서 이를 직접 비교할 수 없습니다.

이런 경우에 각 영상을  프리에 변환하여 프리에 공간에서 비교할 수 있습니다. 이때 사용하는 기법으로  크로스-코릴레이션 법 (cross-corelation method) 입니다.

이 크로스-코릴레이션법은 간단히 설명하면 노말라이즈된 두 함수에서 하나의 함수를 구하고자 하는 값 방향으로 약간 이동시켜 곱하여 가면 두 함수가 가장 잘 일치할때 그 곱이 최대값이 되게됩니다.  이걸 프레에 공간에서  비교하면 편리하고, 이를 다시 역 변환하면 리얼스페이스에서의 값을 얻어낼 수 있습니다.     

역시 순수과학이라는 것이 우리 생활과 그렇게 멀리 있는 것이 아닙니다. 이론적인 면에서 볼때 자연과학이 큰 렌즈라면 공학은 그걸 담는 조각정보입니다. 다시 말하면 공학을 모으면 자연과학이라는 상을  구성해 낼 수있습니다. 이런 의미로 자연과학과 공학은 현실세계 입장에서 볼때 프리에 변환 관계에 있습니다.

  • 포닥 ()

      좋은 얘기 감사합니다. 학부때 이미지 프로세싱하면서 공간에서의 푸리에변환에 대해 배우고 익혔는데, 렌즈의 역할을 그렇게 볼 수도 있군요. 요즈음에는 wavelet 을 사용하는 변환방법이 많이 이용되는 모양입니다. 이미지 압축기술이 대부분 프리에 변환을 바닥에 깔고서 하는 것이죠. 프리에를 잘 다루면, 공학이 매우 쉬워집니다. 미적분방정식+섭동이론+테일러시리즈 이면 학위과정까지 무리없이 넘어가지요.

  • 이공계2 ()

      정말 유익한 말씀입니다. 전 EE 가 아니라서 잘 몰랐었는데, signal processing 에 프리에가 기본적인 것으로 나오더군요. 노이즈를 배제한 계측값을 구하는 과정으로 나옵니다. 저는 제가 만든 허접한 디바이스 시그날을 moving boundary least square 방법을 쓰고 있습니다. 좀더 스므스한 데이타를 그리고 싶으면, 프리에로 하지요..^^

  • 소요유 ()

      아마 이미지 프로세싱이나 시그널 프로세싱은 프리에 변환이 기본일 겁니다. 프리에 공간에서 이해하면 편한 것들이 많습니다.  요샌 천문학자 뿐만아니라 물리학자들이 이를 이용한 공학적 일들을 - 예를 들면 전자통신연구소에 그 런 그룹이 있습니다. 물리학자 중심으로한 - 을 하고 있습니다.  저희들 영역에서는 데이타 처리에 아주 생기초이지요. 그런데 공학에서 섭동이론을 씁니까 ? 그럴 것같기도 하지만 공학자들이 자연과학의  대부분 영역을 점령했군요.

  • 소요유 ()

      그렇죠. 프리에 변환을 하면 작은 것은 크게, 큰 것은 작게 만들게 되는데, 노이즈는 대개 크게 나타나므로 프리에 공간에서 일정한 크기 이상을 잘라내고 역변환하면 노이즈, 즉 작은 변화가 제거된 영상을 얻을 수 있지요. 따라서 프리에 공간에서 적당한 메트릭을 찾으면 실제 데이타 & 영상에서 알고자하는 변화만을 끄집어 낼 수 있습니다.   

  • 소요유 ()

      마지막에 소개한 크로스-코릴레이션 법과 결합하면 좋은 시그날과 허접한 시그날을 비교하여 허접한 시그날에서 좋은 시그날이 갖고있는 특성 정도를 추출해 낼 수 있습니다.  한펴 두 신호의 가까운 정도를 알아낼 수 있고요.

  • ozbbq ()

      퓨리에 변환에 그렇게 깊은 뜻이 있었는지 몰랐습니다. 제가 학부때부터 의문을 가져왔던 퓨리에 변환의 진실을 알아내려고 많은 책을 읽어봤지만 별 소득이 없었죠. 단지 기계공학에서 시간영역의 데이터를 주파수영역의 데이터로 변환시켜준다는 것 외에는 말이죠. 제가 퓨리에 변환에 대해 많은 정보를 얻은 책은 B&K에서 나온 Frequency Anaysis인데 더 좋은 책 있으면 소개 좀 해주시면 안되나요 ?

  • 일렉 ()

      통신이론의 기본이 푸리에 변환부터 시작하는걸요... 소유요님이 말씀하신 작은 것을 크게, 큰 것을 작게..이게 CDMA기술의 본질입니다... Broad band communication의 기본이죠^^

  • 일렉 ()

      통신이론의 첫페이지에 푸리에변환이 나옵니다...

  • 일렉 ()

      그리고 시간영역과 주파수영역 사이의 전환은 라플라스변환이 훨씬 유용한 걸루 알고 있는대요...

  • 소요유 ()

      아 그렇습니까 ?  CDMA 말만 많이 들어서.....  제 동네도 일부는 전파를 다루는  동네다보니..... 요새 제가 전파 데이타 처리를 배우고 있습니다.  아참 프리에변환에 대한 책은 지금  기억이 안나네요. 2~3일 후에 올려 드리겠습니다.  참 좋은 책이었는데......

  • ozbbq ()

      일렉님, 말나온 김에 라플라스 변환에 대해서도 좀 설명해주세요. 공업수학책에 나오는 기본적인 식말고, 개념으로 풀어서 좀 설명해주시면 안될까요 ? 제가 공업수학에 대해서 좀 젬병입니다. 시간영역 -> 주파수영역 변환에 라플라스 변환이 유용하다는 말이 언뜻 잘 와닿지가 않습니다. 기계과 학생들이 기계진동을 배울 때, 계에 임펄스 입력을 가했을 때 얻어진 시간영역 응답을 퓨리에 변환하면 주파수 응답이 얻어지는데 에너지가 집중되는 주파수대가 공진주파수다. 이렇게 배웠거든요.

  • 일렉 ()

      여기 고수님들 많은데..쩝..망신살 뻗칠라...기계과에서 control theory 하시자나여..라플라스는 기본인데...근데 수학적인 거 빼구요..라플라스나 푸리에의 가장 유용한 점은 제가 알기로는 시간영역에서의 함수들의 연산을 주파수영역으로 가져가면 무척 쉽다는 거죠..마치 로그변환과 같이요. 즉 시간영역에서 곱셈이나 상승적분이 주파수영역에서는 덧셈과 단순한 곱셈으로 바뀌죠..

  • 일렉 ()

      적어도 선형시스템 해석에서 라플라스 변환이 끼친 공로는 대단할 겁니다...

  • 소요유 ()

      수학적 변환 이렇게 생각하시면 편합니다. 즉, 과학이나 공학에서 수학적으로 변환하는 경우는 일렉님 말씀대로 '계산하기 쉽게한다'는 것과 '이해하기 쉽다'는 것 두가지 입니다. 라플라스 변환이 유용한 점은 미분방정식을  제곱급수방정식으로 변환할 수 있다는 점입니다.  어떤 운동방정식을  라플라스 공간에서는 제곱급수 방정식으로 나타내지니까 플기 쉾고 이해하기 쉽겠죠. 아마도 전자회로는 역학적으로 simple harmonic oscillator 라 볼 수 있을 겁니다.  이 방정식은 변위의 시간에 대한 이차 미분방정식이되는데 이를 라플라스 변환하면 진동수만을 포함하는 아주 간단한 함수 (1차 방정식) 가 만들어 집니다. 

  • 일렉 ()

      역쉬~ 전기회로가 대표적인 선형시스템이죠.. 수많은 선형소자들을 포함하는 회로내에서 주파수는 보존되니까요..특히 교류회로 해석에서 라플라스쪽으로 샥 넘어가서 각 소자들 또는 그 사이의 물리량의 "크기"와 "위상차"만을 얻어서 다시 감쪽같이 시간영역으로 돌아와도 어라~ 주파수는 그대로죠..잘 모르겠지만 기계쪽의 역학도 비슷하리라 생각합니다.

  • 소요유 ()

      프리에 변환에 대한 책으로 좀 고급스러운 책이 "The Fourier Transform and Its Applications" (Ronald N. Bracewell)입니다. 참고하시기 바랍니다.

  • 포닥 ()

      전기회로에서 라플라스 변환은 임펄스 응답을 표시하고 필터를 디자인하기 편리하게 써먹을 수 있구요. 프리에 변환은 주기적인 신호를 분석하고 재구성하는데 편리합니다. 라플라스 변환은 수학적으로 다차원으로 확장하기에 어려움이 있어서 (라플라스 함수는 변수가 어떤 상수보다 클때만 존재하는 것입니다.), 다차원에서는 프리에 변환을 씁니다. 그래서 임펄스 응답은 라플라스 변환으로 처리하고, 주파수 응답은 프리에변환으로 처리하는 습관이 좋습니다. 물론 수학적으로 프리에변환이 더 완전하기 때문에, 프리에 변환만으로 대부분의 문제를 풀 수 있습니다. 그러나, 분수다항식으로 변환되는 라플라스변환의 맛이 또 기가막히거든요. 인수분해만 할 수 있으면, 전기회로의 제로와 폴을 그자리에서 알아낼 수 있는 장점이 있습니다.

  • 과학도 ()

      푸리에 변환은 주파수 스트럭쳐를 분석하는 방법 아니었나요? 음.. 색다른 설명이라 좋기는한데 생소함도 있군요. 원래 열전도현상을 해석하기 위해 에꼴폴리테크닉의 수리물리 교수 푸리에가 고유치방정식 문제를 유비해 아이겐펑션을 특정 주파수의 컨트리뷰션만을 메저하는 무수한 계측기처럼 사용하려 한 것으로 아는데요.. 그러나 수렴성에 대한 증명이 엄밀치 않아 라플라스가 논문게제를 리젝트했죠. 물리학자들의 goal driven한 방식이 수학자들의 rigourness를 능가한 사례중 하나이죠.

  • 과학도 ()

      실제로 쓰이기에는 연산량이 비현실적이다가 벨랩의 터키가 ("20세기의 가장 위대한 알고리즘"이라고 찬사받은) FFT를 발명하고 최초의 그리드 프로젝트인 SETI@home이 이 FFT를 전 세계의 PC에서 짜투리 리소스로 돌리려는거죠. 웨이블릿은 양자,지구물리,수학자들이 개별적으로 푸리에 해석의 경직된 시간,공간처리대역을 유연히 처리하기 위해 도입한 것이구요. 음.. 이나마라도 재미있으셨을 분이 계실까봐 하찮은 깜냥이나마 써봤습니다. 아무튼 푸리에 변환은 양자역학에 있어서도 (힐버트공간의 바탕에서) 핵심적인 수학적 도구의 역할을 맡고 있죠.

  • 과학도 ()

      아.. 그리고 그 유명한 하이젠베르크 불확정성 원리가 푸리에 변환의 성질로부터 나오는걸로 압니다. 그래서 웨이블릿쪽에서 불확정성 원리가 종종 나오는거구요..(그런데 사실 자신은 없네요 후후..)

  • 소요유 ()

      맞습니다. 불확정성원리의 수학적 바탕이 바로 프리에 변환입니다. 그냥 하이젠베르그가 개발한 것이 아니고 이것은  원래 제가 위에서 설명했던 것과 같은 개념으로 시작한 것입니다.  즉 입자의 파동성을 증명하는 여러 실험으로부터 드브로이가 물질파의 개념을 도입하게 됩니다. 그런데 드브로이는 거기서 멈췄지요. 이를 하이젠베르그가 그 '물질과 파동의 관계'를  수학적으로 전개한 것이 바로 푸리에 변환입니다.  즉 드브로이의 물질파를 프리에 변환하면 입자가 생겨야 하지요.  이게 바로 렌즈의 원리와 같습니다. 여기세 하이젠베르그의 불확정성원리, 즉  파동으로부터 수학적으로 입자를 만드는 모멘텀스페이스-즉 프리에스페이스에서의 불확정성이 나타나게 된 거죠. 이로부터  해석학적으로 전개한 사람이 슈뢰딩거고요.     

  • 소요유 ()

      웨이브릿은 원래 양자역하에서 도입되었습니다. 역시 입자와 파동관계를 수학적으로 연결하기 위해서죠. 다시 말하면 파동은 눈에 안보이지만 입자는 보이잖아요. 렌즈도 같은 역할을 합니다. 피동은 안보이지만 상(이 바로 입자)이 보이니까요. 제가 FFT를 많이 쓰는데 이게 아주 괜찮습니다.  특히 허접스런 데이타를 분석하는데는 아주 그만입니다. 여기에다가 크로스-코릴레이션을 쓰면 환상적입니다.

목록


과학기술Q&A

게시판 리스트
번호 제목 글쓴이 등록일 조회 추천
184 답변글 [re] 흠... 맞나 모르겠네요. 댓글 10 사색자 08-12 6713 1
183 [정보] 일본 가전업계 부문별 순위 댓글 2 로켓연구가 08-07 7052 1
182 [정보] 일본 철강업계 지도 댓글 3 로켓연구가 08-07 5589 2
181 synchro..triggering이 정확히 뭘 의미하는지..? 댓글 2 궁금이 08-07 6695 1
180 확률에 관해…… 댓글 15 보통상식 08-06 5764 3
179 답변글 [re] 주사위의 확률, 기압계와 건물높이 측정 보통상식 08-08 6245 1
178 한국정보통신대학원대학교에 대해... 댓글 5 남정네 08-06 6425 1
177 [정보] 일본 디스크, DVD 업계 지도 댓글 1 로켓연구가 08-05 4343 1
176 역공학이 뭔가여? 댓글 13 오승처리 08-01 4565 1
175 답변글 리버스 엔지니어링 - 박정희 전기에서 발췌. muroi 08-10 4979 1
174 이런 질문 댓글 3 이지매 08-01 4830 1
173 제발좀도와주세여 댓글 3 강현우 07-31 4321 1
172 동적 표면장력 측정에 대해서... 신동윤 07-31 6544 1
171 ansys에서 cad파일 불러오기. 로켓연구가 07-30 7651 2
170 답변글 [re] ansys에서 cad파일 불러오기. 댓글 1 이성철 08-01 16518 2
169 답변글 [re] ansys에서 cad파일 불러오기. 박정렬 07-31 8345 1
168 부끄러운 질문이지만, 댓글 3 허접 공대생 07-29 6391 2
167 답변글 [re] 부끄러운 질문이지만, CoolME 07-30 5663 3
166 답변글 [re] 부끄러운 질문이지만, 박병훈 07-30 4862 1
165 대우전자의 디스플레이 개발 팀은? 댓글 4 daewoo 07-29 7442 2


랜덤글로 점프
과학기술인이 한국의 미래를 만듭니다.
© 2002 - 2015 scieng.net
모바일 버전으로 보기