"상대성이론의 종말" ["시각"과 "시간"은 다르다]

글쓴이
백진태
등록일
2002-04-26 14:08
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안녕하세요?
앞의 글들에서 질문하시는 분이 한 분도 안계신 것을 생각하면,
물리학회에서 발표할 때와 똑같은 심정입니다.
그림으로 그리면 별 것 아닌 아주 간단한 일을 글로 쓰니까 힘드는군요.

이번에는 ["시각"과 "시간"은 다르다]라는 내용을 살펴봅니다.
사람들에게 있어서 시계는 "시각"을 읽기 위한 것입니다.
즉, "시각"은 시계를 보는 가장 기초적인 행위이며, 이것으로부터 '계산'으로 "시간"을 구하죠.
"시각"과 "시간"을 정의해 보면,

"시각" : (ㄱ)시간 축 상의 한 '점' .
        우리가 무엇을 나눈다는 것은, 어떠한 크기가 있을 때에 가능한 것이다.
        "0 차원에서는 크기로서의 물리량은 존재하지 않으며, 크기가 없는 위치만이 있다.
        즉, 0 차원은 '점'이다."
        (ㄴ)"몇 시" 또는 "몇 시 몇 분"을 말 함.
"시간" : "시각"과 "시각" 사이를 말 함. 어떤 일을 시작해서 끝낼 때까지의 동안을 나타냄.
        이며, 이것의 연산은,
          시각-시각=시간,
          시각+(-)시간=시각,
          시간+(-)시간=시간
으로 나타낼 수 있습니다.

이것의 예를 들면,
어느 학생이 2시에 숙제를 시작해서 5시에 숙제를 끝냈다면 숙제를 하는데 걸린 시간은
          5시-2시=3시간
즉, 숙제를 시작한 "시각" 2시, 숙제를 끝마친 "시각" 5시, 숙제하는데 걸린 "시간" 3시간,
이라는 뜻이 된다. 이것을 기호로 나타내면,
          숙제를 시작한 시각 : 2시 ...> t1
          숙제를 끝낸 시각 : 5시 ...> t2
          숙제를 하는데 걸린 시간 : 3시간 ...> t
그러면 t = t2-t1 = 5시-2시 = 3시간 이 됩니다. 그렇지요?
즉, <시각-시각=시간>이라는 계산이 됩니다. 그렇지요?

여기서 t와 t1, t2는 서로 다릅니다. 그렇지요? 이것은 잊지 마시기 바랍니다!!
t 대신에 t1 또는 t2를 넣으면 안됩니다. 만일 t 대신에 t1을 넣으면,
          t1=t2-t1
과 같은 식이 되기 때문에, 이렇게 하면 안 되는 것입니다.
다시 말씀드립니다.
        t라는 것은 3시간이라는 "시간"입니다. "시간"!!!
        t1, t2라는 것은 3시, 5시라는 "시각"입니다. "시각"!!!
이것까지는 아시겠지요? 잊지마세요!!!

            [빛이 있어야 볼 수 있다]
<상대속도가 v=0인 경우>
태양에서 흑점 활동이 있을 경우에 지구에서 관측하는 경우를 생각해 봅시다.
태양에서 지구까지의 거리는 약 R=1.4967*10^8km입니다.
이 거리를 빛이 초속 30만km로 전달되어 오는데는 t=R/c = 약 8분 30초 가 걸립니다.
태양에서 t1'= 2시에 흑점활동이 시작되어, t2'= 5시에 흑점활동이 끝났다면,
흑점활동이 있었던 시간은 t' = 3시간 동안 흑점 활동이 있었다고 할 수 있겠지요.
이것을 지구에서 관측할 때는 어떻게 나타날까요?

흑점활동의 시작을 아는 시각 t1=t1'+R/c = 2시 + 약 8분30초
흑점활동이 끝난 것을 아는 시각 t2=t2'+R/c = 5시 + 약 8분30초
그래서 흑점활동이 일어난 시간을 관측한 시간 t는,
            t = t2-t1 = (5시 + 약 8분30초) - (2시 + 약 8분30초) = 3시간
이 됩니다.

여기서 잘 보셔야 합니다!!
태양과 지구의 상대운동을 빛의 속도에 비하면 "정지"한 것으로 취급한 것입니다.
태양에서의 흑점활동 시간과 지구에서 관측한 시간은 동일합니다. 그렇지요?
또 한가지!
태양과 지구 사이의 거리 관계 때문에 "시각"은 다르게 관측됩니다.
흑점활동의 시작시각과 끝난 시각이 실제 시각과 관측시각이 다릅니다. 잊지마세요!!!

<상대속도가 v인 경우>
태양이 지구에서의 거리 R1되는 곳에서 시각 t1'에 흑점활동이 시작되면서
3시간 동안 속도 v로 직선적으로 지구에서 멀어진다고 가정합시다.
3시간 후에는 지구에서 거리 R2되는 위치에서 시각 t2'에 흑점활동이 멈춥니다.
즉, 태양은 t'=t2'-t1'=3시간 동안에 v로 운동한 거리 R은 R=R2-R1이 됩니다.
흑점활동의 시작을 관측한 시각 t1은 t1=t1'+R1/c,
흑점활동의 끝을 관측한 시각 t2는 t2=t2'+R2/c 가 됩니다.
따라서 흑점활동의 관측시간 t는
            t=t2-t1=(t2'-t1')+(R2/c-R1/c) = t'+R/c
인데, R=vt'인 관계가 있으므로
            t=t'+(vt'/c)=t'(1+v/c)
가 됩니다.
물론 진동수와 주기는 역수 관계가 있으므로 윗식을 진동수로 나타내면,
이것은 일반적으로 잘 알려진 질점적인 경우의 도플러효과가 되지요.

여기서도 특히 주의해 보시기 바랍니다!
이 식에서 v=0인 경우에 t=t'가 되는 것은 흑점활동의 "시간"이 동일하게
관측된다는 의미가 됩니다. "시간"입니다. "시간"!!!
또 v=0인 경우에 R1=R2이긴 하지만, t1=t1'+R1/c, t2=t2'+R2/c (R1=R2)
에서 R/c라는 개념은 그대로 남는다는 것입니다.
그래서 t1=t1'+R/c 라는 것은, <시각=시각+시간>으로 이것은 "시각"입니다. "시각"!!

이 위의 두 가지 내용이 쉬운 것 같지만,
이것이 상대성이론의 핵심적인 오류인 것입니다.
그래서 강조 드린 것입니다.

                        [ [ 두 가지 상황 ] ]
바람이 없는 날, 공기 중의 음파의 속도 V가 V=300m/s 라고 가정합니다.(계산을 쉽게).
이 음파에 대한 다음과 같은 두 가지 경우를 생각해 봅시다.

                  [상황1:질점적인 상황]
동일 원점에 있던 갑과 을이 원점에서 시각 t1에 음파를 발생시키고,
갑은 그 위치에 정지해 있는데,
을은 그 음파를 쫓아서 속도 v=200m/s로 달려갑니다.

이러한 운동 상태인 경우 1초 후(즉, t=t2-t1=1초)의 각각의 위치를 보면,
갑 = 정지(원점)
을 = 갑에게서 200m지점
음파 = 갑에게서 300m지점. 을에게서 100m지점에 도착합니다.
이것을 식으로 나타내면,
            x=x'+vt =100m+200m=300m  (또는 x'=x-vt)
가 되는데, 갈릴레이좌표변환이라 이름 붙은 경우입니다.

                  [상황2:계인 경우의 상황]
이번에는 을이 창문을 모두 닫은 길이 x'=300m인 버스의 뒷좌석에 타고 있는데,
버스의 속도 v가 v=200m/s이고 음파는 이 버스 내부를 전파합니다.
[상황1]과 똑같이 갑과 을은 동일 원점에서 시각 t1에 음파를 발생시키고,
갑은 그 위치에 정지해 있는데,
을이 탄 버스는 속도 v=200m/s로 달려갑니다.
이러한 운동 상태인 경우 1 초 후의 각각의 위치를 보면,
갑 = 정지(원점)
을 = 갑에게서 200m지점
음파 = 갑에게서 500m지점. 을에게서 300m지점이 됩니다.
이것도 식으로 나타내면,
          x=x'+vt =300m+200m=500m (또는 x'=x-vt)
가 됩니다. 위의 두 가지 상황은 전혀 다릅니다. 그렇지요?
상황에 따라 계산법이 달라져야 합니다.
어떤 질문을 해야 합니까?

**** 좌표변환에서
(3) 갈릴레이나 로렌츠 좌표변환을 그림을 그려서 설명할 것.
(4) 특히 사상의 발생과 끝남을 "시각"을 이용하여 유도할 것.

이 질문을 해야 갈릴레이 좌표변환이 [상황1]을 이야기하는지,
[상황2]를 이야기하는지 알 수 있는 것이 아닐까요?

여기서 조금 더 생각해 봅시다.
뉴턴역학은 질점적 운동을 다루면서 그 확인 과정이 없었습니다.
따로 배우는 것이 도플러효과인데, 이것을 뉴턴역학에 도입해야 제대로 된
역학 개념이 되는 것입니다. 무슨 말인가 하면,
포대에서 포격을 하면서 탄착점이나 탄환의 비행 시간을 측정하지 않고,
무조건 포격만 한다면 제대로 된 포격을 할 수 없습니다. 그렇지요?
이제 이러한 "관측"이라는 개념을 넣고 [상황2]에 대해서 살펴봅니다.
책들의 설명을 보면 좌표변환은 [상황2]를 뜻하기 때문입니다.

확인 과정을 두기 위하여 버스의 길이를 x'=150m로 하고 음파의 왕복운동으로 봅니다.
물론 지상에 정지한 갑에게도 음파가 도착해야 음파의 왕복을 알 수 있겠지요?
두 관측자가 동일 시각 t1=t1'일 때 버스가 출발하고, 버스 내부에서 음파도 출발합니다.
버스 내부의 을에게 반사된 음파가 시각 t2'에 도착한다면,
을이 관측한 음파의 왕복시간 t'은
            t'=t2'-t1'
이 됩니다. 그래서 을이 관측한 음파의 속도 V'는 V'=x'/t' 가 됩니다.
그러나 지상에 정지한 갑에게는 음파의 도착 시각이 다르게 나타납니다.
즉, 버스 내의 음파가 왕복하는 t'시간 동안 버스는 속도 v로 운동을 했지요? vt'만큼...!
따라서 갑에게 음파가 도착하려면, 음파는 vt'만큼을 더 운동해야 합니다.
갑이 그의 공간 내에서도 음파의 속도를 V'라고 한다면(버스 내부와 외부 매질 동일),
음파의 도착시각 t2는
            t2=t2'+vt'/V'
가 되므로, 갑이 관측한 빛의 왕복시간 t는
          t=t2-t1=(t2'-t1')+vt'/V' = t'+vt'/V'
로서, 버스 내부의 관측자 을 보다 vt'/V' 만큼 더 긴 시간으로 관측하게 됩니다.
(여기서 V'는 갑과 을의 공간에서 맥스웰이 계산으로 나타낸 음속,
버스의 운동에 변함없이 음속이 일정하다는 아인슈타인의 광속일정을 생각하시면 됩니다)

이제 계산해 봅시다.
갑이 관측한 음파의 속도는 얼마입니까?
          V=x/t=(x'+vt')/(t'+vt'/V')=(x'+vt')/{(V't'+vt')/V'}=V'
결국 두 관측자 갑과 을은 동일한 음속으로 나타나게 되는 것입니다.
여기서 잠깐 살펴봅시다.
갑이 관측한 음파의 왕복시간 t는 t=t'+vt'/V' 였고, 여기서 t'=x'/V'였습니다.
그래서 식을 다시 써 보면,
              t=t'+vx'/V'^2  ..... (1)
가 되는데, 어디서 많이 본 식이 아닙니까?
V'를 c로 대체하고, 비례상수 k(혹은 감마)만 넣으면 로렌츠좌표변환식이 되죠?

본론으로 들어가서,
위의 (1)식은 분명히 시작시각 t1(t1')과 끝난시각 t2(t2')를 이용해서 구한 식입니다.
즉, (1)식의 t(t')에는 이미 t2'-t1'라는 의미가 있기 때문에,
t라는 식 전체를 다시 t1, t2등으로 놓으면 안된다는 것입니다.

이 내용을 이해하시려면, 다음의 질문에 먼저 답할 수 있는 방법을 생각하셔야 합니다.

**** 좌표변환에서
(3) 갈릴레이나 로렌츠 좌표변환을 그림을 그려서 설명할 것.
(4) 특히 사상의 발생과 끝남을 "시각"을 이용하여 유도할 것.

다음의 올리는 글에서 아인슈타인의 시간팽창식의 문제점을 찾아 보시기 바랍니다.

                <부록> "시각"과 "시간"의 관계 일부 발췌
2.해석기하적 관점
단위의 길이를 1이라 하자. 이것을 기준으로 했을 때의 각 선분의 길이 a, b가 1:a=a:b라는 비율을
만족한다면 b=a^2이 된다. 즉, (길이)=(길이)*(길이)이다. 이것은 위에서 말한 수학자의 관점과 동
일하다. 결국 수학자는 해석기하적 관점에서 길이를 정의한 것이다. 문제는 고정관념을 깨는 것이다. 오직 이것만이 성립한다고 말하는 것은 유아적인 사고방식이다. 유클리드기하학에서 평행선은 한점
에서 만나지 않지만, 비유클리드기하학에서 평행선은 한 점에서 만날 수도 있다. 결론적으로 말해서
평행선 공리가 항상 성립하는 것은 아니라는 말이다. 평행선 공리는 오직 유클리드기하학에서만 성
립할 뿐이다. 데카르트의 좌표의 도입은 수학역사상 가장 위대한 개념중의 하나이다. 이를 통해서
단순한 도형을 수로 나타낼 수 있게 되었고, 그 결과 도형과 대수는 하나로 통합될 수 있었다.
가령, 기하학적 직선은 y=ax+b로, 기하학적 원은 x^2+y^2=r^2로 나타낼 수 있게 되었다.
우리는 변수x와 y의 관계를 살펴봄으로써 직선과 원의 성질을 연구할 수 있게 되었다.

시각과 시간으로 돌아가 보자. 좌표와의 연관성을 나타내기 위해 시각을 시간좌표로 다시 정의하자. 시간좌표를 정의하는 한 가지 방법은 원점O에 대응하는 수를 0, 점P에 대응하는 수를 t라 할 때 점P의 시간좌표를 t라하고 점P를 P(t)로 정의하는 방법이다. 역으로 P(t)에서 t는 점P의 시간좌표 t이고, 점P에 대응하는 수를 가리킨다. 가령, 점P에 대응하는 수가 3일 때 점P의 시간좌표는 3이며, 점P는 P(3)이다. 역으로 P(3)에서 3은 점P의 시간좌표 3이고 점P에 대응하는 수이다. 시간은 선분OP의 길이로 정의된다. 그러면 OP=3에서 3은 시간의 길이를 나타내게 된다. 여기서 주의해야 할 것은 OP의 3은 점P의 시간좌표 3과는 다르다는 점이다. OP의 3은 시간의 길이가 3이라는 뜻이고, 점P의 시간좌표 3은 점P에 대응하는 수가 3이라는 뜻이기 때문이다. 다른 한 가지 방법은 보다 현실적인 것으로 원점O에 대응하는 수를 0으로 잡고 원점에서 시간의 길이가 t인 점을 점P라 할 때 점P의 시간좌표를 t라하고 점P를 P(t)로 정의하는 방법이다. 가령 원점에서 시간의 길이가 3인 점을 점P라 할 때 점P의 시간좌표는 3이고 점P는 P(3)이다. 역으로 P(3)에서 3은 점P의 시간좌표 3이고 시간의 길이에 대응하는 수이다. 첫 번째 방법은 먼저 시간좌표를 정의하고 나서 시간을 정의하는 방법이고, 두 번째 방법은 먼저 시간을 정의하고 나서 시간좌표를 정의하는 방법이다.
첫 번째 방법을 사용하는 수학자는 변환개념을 도입할 수 있다. 변환이란 집합X로부터 집합X로의 사상이다. 가령 시간좌표 t를 시간좌표 t'로 옮기는 변환을 생각해 보자. 만약 t'=t/2
라면 시간좌표 1은 시간좌표 1/2로, 시간좌표 2는 1로 옮겨진다. 이러한 작업은 무수히 반복될 수 있다. 그러나 우리가 순서쌍이라는 개념을 도입하고 t'을 세로축상에 나타내고, t를 가로축상에 나타내면 (1, 1/2), (2, 1), .........(t, t')를 나타내는 점의 자취를 알아 낼 수 있다.점의 자취는 직선이고, 이 직선을 나타내는 대수식은 t'=t/2이다. 이런 식으로 우리는 얼마든지 만들어 낼 수 있다. 물론 이러한 것이 물리학적을 무슨 의미가 있겠느냐고 반문할 지도 모른다. 그러나 달리 방향을 바꾸어 생각해 보면 갈릴레이 좌표변환이나 로렌츠변환이 위와 다르지 않음을 금방 알아차릴 수 있을 것이다. 만약 어떤 수학자가 t시를 시간좌표 t로 정의한다면 t'시는 시간좌표 t가 된다. 0시는 시간좌표 0, 1시는 시간좌표 1, 2시는 시간좌표 2.......등등. 이 수학자는 이를 통해서 변환개념을 도입할 수 있다. 결과는 위와 똑같다. 물론 다른 수학자는 t시를 시간의 길이가 t인 점으로 정의할 수도 있다.
여기에서 8시는 시간의 길이가 8인 점이 된다.
이런 경우 8시에는 시간의 길이라는 의미가 내포되어 있다.
그러나 8시는 8시간과 다르다.
8시는 그저 점일 뿐이며, 8은 시간의 길이에 대응하는 수일 뿐이다.

 





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