*** 저 자신은 비선형 동역학을 전공한 사람은 아닙니다. 개인적으로 '어깨너머'로 들여다 본 것이 전부입니다. 대략 기초와 함께 배경을 포함해서 소개해 보도록 해겠습니다. ***


1. 배경 

수년전에 과학질문 싸이트에 가면 가끔 '카오스' 나 '프랙탈'에 대한 질문이 아주 많이 올라오곤 하였습니다. 요즈음은 좀 뜸합니다.  최근에 '엔트로피 법칙'과 함께 비선형 동력학이라는 말을 이제는 자연과학자들 뿐만아니라 인문사회과학자들도 (정확한 이해없이 무분별하게) 많이 쓰고 있는 것 같습니다.  오히려 자연과학자들보다 인문사회과학자들이 더 주목하고 있는 지도 모릅니다. 

동역학이라는 말자체도 이해하기 힘든데 거기다가 비선형이 붙으면 좀더 이상할 것 같은 느낌이 듭니다.  동력학은 영어의 dymanics를 번역한 말인데 그럼 정역학도 있는가하는 의문점이 듭니다. 정역학은 kinematics를 일본사람들이 번역한 말입니다.  이 차이가 무엇일까요 ?  동역학은 시스템이 움직이고, 정역학은 시스템이 움직이지 않는다는 말일까요 ? 

역학 (mechanics)의 시작은 뉴톤의 제 2법칙인 힘과 가속도의 관계를 나타내는 식인 F= ma = d^2r/d^2t로 부터 시작됩니다. 즉 역학적 시스템은 미분방정식으로 표현됩니다. 즉 고전적이든 현대적이든간에 이 미분방정식을 해석적이든 수치적이든 풀어 해를 구하면 그 시스템을 설명할 수 있게됩니다.

일반적으로 kinematics는 힘이 우리가 잘아는 중력, 전자기력과 같이 F=F(r)인 형태로 주어져 ma-F(r) = md^2r/dt^2-F(r) = 0 형태의 (완전) 미분방정식의 꼴로 나타내 역학계를 말하고, 동력학은 이 힘 이외의 외력이 있는 경우, 즉 md^2r/dt^2-F(r) = f(r,t;t)를 말합니다. 이때 시간은 겉은로 들어나 거나 (explicity), 혹은 겉으로 들어나지는 않고 숨어있는 것 (implicity)로 나타날 수 있습니다. 다시말하면 동력학이란 우리가 잘아는 중력이나 전자기력 이외에 제 2의 힘, 즉 외력이 작용하는 계이다라고 말할 수 있습니다.  따라서 동력학은 우리가 잘아는 계가 시간에 따라서 변화하게 된다는 것을 의미합니다.

미분 방정식에서 비선형이란  d(F+G)=dF + dG형태로 나타내질 수 없는 미분방정식으로 대개는 위식에서 f에서 시간 t가  겉으로 들어난 경우가 많습니다. 예를들면 유체를 다루는 방정식 중에서 '연속방정식 (continuity equation)'은 (시간에 대한 완전미분) = (시간에대한 편미분) + (공간에대한 편미분)이렇게됩니다. 즉 이 유체시스템의 시간에따른 변화는 유체내에 포함되어 있는 시료 (test parcles)와 같은 속도로 따라가면서 관찰한 이 시료의 시간에대한 변화 (시간에대한 편비분=오일러리안)에다가 이 유체 시료가 공간적으로 변화하게 때문에 생기는 유체시료의 변화 (공간적에대한 편미방 = 다이버젼스)의 합으로 표현됩니다.   

다시 해의 문재로 들어가서 우리가 현재까지 관심을 많이 갖는 역학계는 가능하면 해가 해석학적으로 존재하거나, 아니면 해석학적인 해가 존재하도록 변형시키켜 해를 구하여 계를 이해하려고  노력했습니다.

따라서 과학자들은 그동안 자신들이 설명하고자하는 자연을 가능하면 수학적으로 간단한 모델을 만들어 이를 통하여 그 자연을 설명하려고 노력하여 왔습니다. 그런데 이러한 방법에는 수학적인 문제가 도사리고 있습니다. 이를테면 간단하게 물체가 하나만 있는 경우를 생각해보면 이 물체를 기술하는  방법은 위치와 속도에 대한 시간적 표현을 구하면 됩니다. 즉 3차원에서 구해야할 미지수가 6개 (위치 3개, 속도 혹은 운동량 3개)가 됩니다. 그런데 미분 방정식은 F=ma에서 3개 (3차원이므로), 에너지 보존밥칙에서 1개, 운동량보존법칙에서 3개, 연속방정식 (질량보존법칙) 1개 등 8개의 방정식이 존재합니다. 따라서 미지수 6개에 방정식이 8개이므로 해를 구할 수 있습니다.

한편 지구-태양과 같이 2체문제인 경우에는 미지수가 각각 6개씩 12개지만 죄표계를 잘 잡으면 두 물체는 항상 서로 반대편에 가게되므로 사실은 2체문제는 1체문제로 환원하여 해를 구할 수 있습니다. 즉 환산질량을 이용한 1체문제로 환원됩니다.

그러나 3체 문제 이상은  미지수보다 방정식의 갯수가 적어서 해를 일의적으로 구할 수 없습니다. 다른말로 표현하면 초기조건에 따라 서로다른 해가 (무수히 많이) 존재하게 된다는 듯입니다. 따라서 초기조건에따른  해를 구하기 위하여  무수히 많이 계산해야 된다는 뜻입니다.

그런데 어떤 조건에서는 다체문제의 미분방정식의 해를 구할 수 있게 되는데 예를 들면 제 3체의 한 힘을 나머지보다 작은 경우에는 근사적인 계산이 가능합니다. 

이게 정역학에서 문제라면 동력학은 좀더 복잡하게 됩니다. 즉 여기에다가 외력이 존재하게되면 좀더 심각하게됩니다. 이러한 미분방정식은 대개는 해석학적인 해가 존재하지 않습니다.  위와 마찬가지로 동력학의 외력이 상대적으로 작은 경우에는 근사값으로하여 계산할 수 있게 됩니다, 이를 섭동론 (pertubation theory)이라고 합니다. 

즉 과학자들이 해석학적인 해를 구하려고 '별짓'을 다해보지만 우리자연에는 안되는 경우가 더 많습니다. 그래서 많이 사용하는 방법이 수치적분 (numerical intergration)입니다. 미분방정식을 푼다는말은 적분한다는 말이므로 수치적분 - 즉 반복계산에 의한 적분이 해를 구하는 것이다라는 것을 알 수 있습니다.  다만 수치적으로 반복계산으로 적분하는 경우에 해가 어는 구간에서 수렴하도록 하는 것이 중요한 문제였습니다. 그렇지만 자연에는 '그 계의 물리적인 상태인 자연이 존재하므로 해는 존재한다고 볼 수 있습니다'. 

즉 이와 같은 문제들은 과학자들이 그동안 미분방정식으로 표현되는 모델을 이용하여 자연을 설명하고자하는 시도는 아주 커다란 성과를 얻었고, 아직도 아주 유용한 방법임에도 불구하고 자연을 직접 대상으로하는 경우에는 상당히 큰  벽으로 작용하게 됩니다.  즉 3체 문제이상 다체문제나, 혹은 외력이 작용하는 경우의 문제에서 아주 소수의 특별한 경우를 제외하고는 더이상 간단한 모델로 설명하기 불가능하게 되었다는 말입니다. 

계를 구성하는 입자의 수가 많아지면 이 계를 설명하는 모델로  n-body 모델이나 유체모델을 쓰게됩니다. n-body 모델은 수만 ~ 수십만에 이르는 각 입자 하나하나의 운동방정식을 수치적으로 풀어가면서 추적하는 방법이고, 유체모델은 이를 하나의 유체처럼 생각하여 종합적으로 푸는 방법입니다.

예를 들면 위에서 설명한 유체 방정식을 이용한 대표적인 모델의 경우가 기상학적인 모델인데  기상학에서 날씨를 나타내는 변수들, 이를테면 온도, 압력, 풍속, 습도 등등은 대기모델에따라 미분방정식으로 표현되게 됩니다. 그런데 문제는 이 미분방정식이 위에 유체의 예에 보듯이 비선형편미분 방정식입니다. 편미분방정식은 수학적으로 다루기가 더 까다로운데  이 역시 컴퓨터의 '맹목성'을 이용한 수치적분으로 해결합니다. 즉 3차원 그리드를 아주 많이 만들어 각 그리드에서의 변화를 추적하는 방법을 씁니다.

실제로는 이러한 수치모델에서 중요한 것이 수렴하게 '그럴듯한' 초기조건을 잡는 일입니다. 그런데 초기조건에 아주 민감한 경우에는 어떻게 생각해야 할까요 ? 그런 자연은 없다고 생각해야 할까요 ?
 
여기서 카오스 이론이 나오게됩니다. 이해할 수 없는 초기조건을 버리고 이해할 수 있는, 다시말하면 그럴듯하게 해가 발산하지 않고 수렴하는 초기조건만을 선택하여 자연을 설명하는 데에는 문제가 있다, 그렇다면 '초기조건에 민감한 경우' 우리가 그 계를 설명할 수 있을 것인가 하는 질문에서 시작된 것이 커이어스 이론입니다. 


2. 케이어스 이론과 인식론 

케이어스 이론은 대분분의 비선형 편미분 방정식으로 기술되는 계, 즉 자유도가 많은 복잡계가 가지고 있는 초기조건의 민감성을 설명하는 이론에서 출발하게 됩니다. 따라서 비선형동력학이라고 부르는 것 같습니다. 한편으로 프랙탈이라는 새로운 기하학의 영역과 수학적으로 일치한다고 알려지고 있어 프랙탈 기하학과  함께 논의되기도 합니다.

그 이유는 미분방정식을 수치적분할때 '피드백에 의한 이터레이션'으로 적분하게되는 면이 바로 프랙탈의 이론과 같습니다. 즉 피드백이 아주 중요하게 작용하게 됩니다. 이 피드백에 의한 이터레이션은 결국 전에 계산된 해와 다음에 계산될 해간의 자기유사성을 전재로 한다는 면에서 프랙탈과 같습니다. 

케이어스 이론의 요점은 우리가 그동안 초기조건의 민감성 때문에 버렸던 많은 해들도 역시 자연의 일부로 받아들여야 한다는 점과 초기조건의 민감성 때문에 해가 수렴하지 않고 발산되어 예측 불가능한 해라 하더라도 그 혼돈 정도가 예측가능하게 일정한 형태로 행동하게 된다는 점입니다.  즉 혼란은 혼란이돼 이론적으로 예측가능한 혼란이라는 것입니다.  혼돈 이론에서 이러한 발산의 방식으로 bifurcation과 attractor 등을 들고 있습니다. 이들 개념이 혼돈이론에서 아주 중요하게 다루어 집니다. (더 자세한 것은 위에서 여러분들이 소개한 혼돈이론 소개  입문서를 참고하시기 바랍니다. )

케이어스 이론에서 주장하는 바는 자연은 자유도 (변수)가 무한히 많은 복잡계로서 복잡계는 항상 초기조건에 민감하게되어 그동안 기존의 과학에서 생각해왔던 한가지 설명만 가능한 자연이 아니라 아주 다양한 형태로 나타난게된다는 점입니다. 즉 자유도가 많지면 그에따라 자연의 불규칙성이 내재해 있어 우리가 아는 (예측한) 바대로 계가 움직이지 않고 초기조건에 민감하게 되는 복잡성이 나타난다는 것입니다. 

이 장면에서 등장하는 것이 '나비이론' 입니다. 즉 북경에서 나비가 날개를 살랑거리면 그 결과 뉴욕에는 폭풍우가 몰아친다는 이론으로 '비선형 평미분방정식으로 표현되는 복잡계인 대기모델의 초기조건의 민감성'을 나타내는 말입니다.

(*** 이 복잡계를 행동을 잘 설명하는 것으로 '마이클 크라이튼'의 '쥬라기 공원'에  혼돈이론가 (프랙탈 이론)가로 등장하는 '아이언 말콤 (영화에서는 흑인으로 나왔음)'이라는 수학자가 바라보는 시각이 바로 케이어스적인 시각이고, 그의 설명대로 복잡계가  어떻게 행동할 지를 보여주는 것이 쥬라기 공원의 내용입니다.  아무튼 마이클 크라이튼의 과학적 이해가 돗보이는 소설입니다.  영화는 많은 부분을 잘라내서 그렇지만 소설은 아주 이부분이 잘 나타난 있습니다. ***)   

비선형 미분방정식으로 표현되는 복잡계의 모델은 결국 자연이 내적으로 케이어스적인 원인을 가지고 있고, 따라서 초기조건의 민감성과 모델 계산에서의 피드백에 의한 반복성과 자기 유사성을 가지게된다는 점입니다. 이러한 면이 자연에 대한 기존의 인식에서부터 케이어스 이론에서의 인식론적인 전환입니다. 

이 케이어스 이론의 장점은 기존 과학이론에서 설명하기 곤란하였던 점들, 이를테면 왜 계가  예측 불가능하게 어는 순간에 불규칙성이 나타나는가 하는 점을 잘 설명해 준다고 할 수 있습니다. 예를들면 수도물을 틀어서 수압이 어는 정도 되어야 물줄기가 갈라질 것인가, 어느 순간에 상전이가 나타날 것인가 등등을 이론적으로 설명해 줄 수 있다는 장점을 가지고 있습니다.

케이어스 이론은 간단한 이론으로 복잡계의  '행동'을  설명하는 것과 함께  서양과학의 환원주의적인 결함을 어느정도 메꾸어주는 역할을 하게 됩니다. 이를테면 자연을 하나하나 뜯어서 설명하여 합치면 온전한 자연을 설명할 수있겠는가에 대하여 어는정도 해답을 준다는 점입니다. 

(***사실은 이게 안된다는 점을 보여줍니다. 왜냐하면 복합계의 복잡성 때문에 예측할 수 없는 상태에 이를 수 있다고 봅니다. 즉 마이클 크라이튼의 소설 '타임라인'에서 인간을 각 정보로 분해하여 '팩스'와 같은 방식으로 '전송'하여 재구성하는 방법이 나온느데 이런 것은 케이어스이론에 따르면 거의 불가능하다고 보여집니다. 왜냐하면 복잡성의 예측 불가능성 때문입니다.*** )

한편으로 좀 복잡한 계를  통합적 시각에서 바라다보는 인식을 갖는다는 점입니다. 즉 자연 자체에 자기유사성의 내재를 전재한다는 점에서 일견 동양의 전통적인 시각과 유사해 보입니다. 즉 인간이 자연을 이해할 수 있는 것은 인간이 갖고 있는 이성이 때문이아니라 인간이 자연의 일부로서 가지고있는 자기유사성을  때문이라는 것입니다. 즉 양자역학보다 한발 더나아간 것 처럼 보입니다.

한편으로 케이어스 이론이 갖고있는 강점, 즉 복잡계를 설명한다는 점에서 자연과학에서 보다 복잡한 시스템으로 아주 많은 변수가 작용하는 생태학이나 생물학, 화학, 기상학 등에서 이용되는 것 같습니다.

예를 들면 가깝게는 생물학 혹은 생태학에서의 적자생존론을 다시 바라보게하는 점으로부터 생기론에 가까운 지구 '가이아' 이론까지 닿아 있는 것으로 보입니다. 이르테면 생태학에서 적자생존론으 ㅣ문제점을 잘 살펴보면 예를들어 도로공사를 위하여 산을 파헤치고 숲을 일부분 파괴하면 그 파괴된 언저리에 '칡덩굴', '댕댕이 덩굴', '조팝나무', '싸리나무' 등이 자라나게됩니다. 이를 적저생존을 ㅗ설명하면 다른 식물들이 다 살아보기를 시도해 봤지만 이들 만이 살만한 환경이되었기에 이들이 살아남은 것이다라는 설명인데, 실제 살펴보면 다른 넘들이 살아보길 시도한 흔적이 없습니다. 즉 '자연'이 의도적으로 숲을 보호하기 위하여 이들을 살게 했다고 설명할 수도 있다는 것이입니다. 마찬가지로 산성비의 경우도 지구에 썩지 않을 물질을 너무 많이 배출하여 이를 썩게할 필요가 있다고 판단하여 자연이 산성비를 내리게 했다, 뭐 이런 설명이 가능하겠지요.     


3. 한계와 전망

이러한 복잡계를 잘 설명해 줄 수 있다는 장점에도 불구하고 이런한 케이어스 이론이 기존의 과학을 대치시킬 수있는 파라다임이 될 것인가에는 회의적인 시각이 많습니다.

우선 이 커이어스 이론이 완성된 이론적 틀을 갖고 있지 못합니다. 다시말하면 현재 대안이 될 '과학'으로 독립하려면 이 이론으로부터 아래로 개개의 계를 설명하는  이론에서부터 우주론을 설명한느 이론까지 일의적인 이론이 필요합니다. 이런면에서 아직 이 이론이 우주론이라고 할만한 골격을 보여주지 못하고 있습니다.

예를 들면 천문학 일부에서 암흑물질을 설명하는 이론중에서 '개량된 뉴톤역학' (modified Newtonian Mechanics)이 일부에서 아주 유용하게 쓰입니다. 즉 이 이론은 은하의 운동을 아주 잘 설명해 줍니다. 그러나 이 이론이 뉴톤역학의 중력이론을 대체할 수 없는 이유가 바로 우주론이 없다는 점입니다. 그런면에서 개량역학이라고 부르는 것입니다.  주자학에 대한 양명학이나, 전통적인 철학에 대한 포스트모더니즘과 같다고 할까요 ?

위와 같은 면 때문에  아직은 '개량과학' 영역에 있는 것 같습니다.  1980년대 프리고진 학파를 필두로 기세를 올리던 케이어스 이론들이 20세기 끝부터 현재에 그렇게 큰 위력을 발휘하고 있는 것 같지는 않습니다. 우리나라에서는  김용옥 교수등과 서울대 물리학과 일부 교수들이 80년대에 '신과학 운동'이 있었습니다. 아마 이와 관련된 학회도 있었던 것으로 기억합니다.  현재의 활동 상황은  잘모르겠지만 포항공대쪽에 플랙탈을 전공하는 분이 있고, 한편 여기저기에 곁다리로 전공하는 분들이 많은 것 같습니다.

그러나 생각하는 만큼 현대과학에서 케이어스 이론이 큰  비중을 차지하는 것 같지는 않습니다.  이는 무엇보다도 우주론의 부재가 그 원인인 것 같습니다.

다만 이 케이어스이론으로 대표되는 '신과학'이 아리스토텔레스 이후에 전통 서양과학에서 전통적인 방법론인 이데아 (모델)을 이용한 자연을 설명에서 한걸음 나아갔다는 점이 의미있다고 하겠습니다. 특히 아주 복잡계인 인간사회를 과학적으로 설명할 수 있는 여지를 준다는 점에서 시야가 넓어졌다고 볼 수 있습니다.  한편으로 자연을 하나하나 뜯어서 보는 것이 아니라는 점과 학제 & 학관 간의 구별을 없앤다는 점 등이 특징으로 꼽힐 수 있습니다.