책을 읽다가 궁금한게 생겼는데요.
- 글쓴이
- architect
- 등록일
- 2002-06-09 00:39
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묻고 답하기 ,, 괜찮겠죠? ^^;
며칠전부터 퍼지 논리에 관한 책을 읽고 있는데... 책을 읽으면서 점점 그동안 가졌던
공학적,과학적 이론(참고로 공대 학부 3학년입니다.)에 관해서 의심이 생겼습니다.
그래서 정확히 알아보고 싶은게 생겨서 글을 올립니다.
1) 확률에서 흔히 random(무작위성)이라는 소리를 자주 하는데,,,
여기서 말하는 random의 수학적 정의가 무엇입니까?
확률책을 아무리 뒤져봐도 무작위성에 관해서 정의가 없더군요.
이 책에서 "확률은 무작위성으로 온세상을 뒤덥고 있다"
"그렇지만,,, 수학은 여전히 무작위성이 무엇인지 정의 내리지 못하고 있다."
이렇게 적혔는데... 사실인지 알고 싶습니다.
2) "크레타 섬의 거짓말쟁이"에 관해서 ,,,,, 이 이야기는 논리적으로 모순인걸로 압니다.
여기서 말하는 논리 라는게 흑백논리(A or NOT A)를 말하는 겁니까?
"2000년전에 아리스토 텔레스가 말한걸 아직도 과학자들은 진리로 알고 있다"
뭐~ 대충 이런식으로 적혔습니다. ㅡ.ㅡ;
3) 미분이나 적분은 많이 이용하는데... 아직까지 "무한"의 개념을 모릅니다. ㅡ.ㅡ;
수학에서 "무한"과 과학에서 "무한"이 어떤 의미인지 알고 싶습니다.
퍼지논리에 관해서 궁금한게 아니라(혹시 퍼지논리에 관해서 설명하실까봐 ㅡ.ㅡ;).....
위의 질문에 관해서 무지 무지 궁금합니다.
이왕이면,,, 제가 이해할수 있게 쉽게 설명해 주세요.
다른 사람들 의견
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수학적 정의는 정확하게 기억나지 않습니다. 우선 random에 대한 '물리적' 정의는 확률분포에 의하여 정의 되어야 할 것 같습니다. 일반적으로 어떤 수의 집합이 특정 확률분포를 만족할때로 정의할 수 있을 것 같습니다. 수힉적으로는 집합으로 정의할 수 있을 것 같은 잘 모르겠네요.
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두번째는 내용을 잘 모르겠고, 세번째 무한의 정의는 수학적으로는 집합으로 정의 할 수 있습니다. 집합에는 여러 종류의 집합이 있는데 그 집합 중에서 집합내에서 각 원소들간에 크기 순서가 '완벽하게' 정의된 집합을 'well-ordered set'이라고 하고 부분적으로 정의된 집합을 'partial ordered set'이라고 합니다. 자연수의 집합이 'well ordered set'이라 할 수 있습니다. 무한이란 이렇게 well ordered set에서 부분집합 (subset)을 어떻게 잡더라도 이 부분집합의 maximal element (최대값) 혹은 minimal element (최소값) 보다 크거나 작은 수를 항상 하나 이상 발견할 수 있는 집합을 무한집합으로 정의합니다.
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무한의 개념과 극한의 개념이 약간 다릅니다. 미적분에서 사용하는 개념이 극한 개념인데 수학적인 극한 개념은 집합론 혹은 토폴로지적으로 정의하고 있습니다. 예를 들어 집합론으로 전개되는 토폴로지에서 중요한 개념이 'open set' 개념입니다. 이 open set은 위에 잠까 소개한 maximal element와 minimal element와 관계있는데 open set은 이러한 최대값과 최소값이 존재하지 않지만 elements들의 크기가 일정한 수보다 적은, 다시말하면 upper bound 와 lower bound가 존재하는 집하으로 정의 됩니다. 예를 들어 2 < x < 3 사이에 있는 실수들의 집합이 이에 해당합니다. 다시 극한으로 돌아가서 어떤 집합에서 이러한 열린 부분집합을 임의로 선택하더라도
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이 부분집합보다 원소의 갯수가 하나 적은 부분집합을 하나라도 발견할 수 있을때 이 집합을 (최소) 극한으로 정의하는 것 같습니다. (배운지 오래되어서 기억이 가물가물하네요) 미분도 이런 집합개념으로부터 정의되는 것 같구요. 과학에서 무한은 좀더 현실적입니다. 즉 과학에서의 무한은 우리가 설명하고자 하는 문제의 성격에 따라서 '오차론 적으로' 정의됩니다. 따라서 수학적으로 엄밀하게 정의된 극한이나 무한을 사용하지 않습니다. 예를 들면 입자의 갯수가 무한개인 모델을 현실적으로 다루는 것이 불가능하므로 실험오차 법위내에서 최대값으로 두고 계산합니다.
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즉 과학에서는 수학적으로 수렴하는 극한에 관심을 갖습니다. 무한 & 극한에는 수렴하는 것과 수렴하지 않은 것이 있습니다. 아 그러고 보니 위에서 설명한게 수렴의 집합론적인 정의군요. 제 설명이 명확하지 않으므로 다른 분들이 좀더 잘 설명해 주시기 바랍니다. 배운지 오래되었고, 한동안 안썼더니 가물가물하네요.
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architect
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허걱,,,, 솔직히 잘 이해가 안되네요. ㅡ.ㅡ; 수학실력이 워낙 딸려서... 자신이 크레타섬 사람이면서 "모든 크레타사람은 거짓말쟁이다"(All Cretans are liars)라고 말했다.....이게 2번째 내용입니다. 아~~ 그리고 오늘 보면서 몇개 더늘었습니다. ^^; [확률은 존재하는가? 확률은 어떻게 생겼는가? 확률은 어떻게 측정하는가? 확률이 주장하는것을 어떻게 시험하는가?] 책에 이렇게 적혔는데... 가만 생각해보니까 확률을 측정한다는 말은 듣지도 못한것 같습니다. 또 확률의 주장을 시험하는 방법이 있다는 소리도 못들어봤습니다. 그동안 너무도 당연하게(마치 저 하늘에 태양이 떠있는것 처럼)여겼다고 생각됩니다.
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무한은 이렇게 생각하시면 됩니다. 우리가 자연수가 무한함을 증명하는 것을 생각해 보면 자신이 아는 가장 큰 수를 생각하면 그 수보다 1 큰 수가 항상 존재하게 됩니다. 이게 자연수가 무한함을 증명하는 것입니다. 미적분에서의 극한의 개념은 실수와 1:1 대응되는 선분을 생각할때 선분상의 어는 점주위에 그 점을 포함하는 아무리 작은 선분 (부분집합)을 잡더라도 그 선분보다 길이가 짧은 선분을 발견할 수 있을 때로 정의할 수 있습니다. 이게 실수의 연속성을 나타내구요.
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확률을 측정한다는 말은 이를테면 동전던지기를 실제로 해봐 앞면이 나온 수와 뒷면이 나온 수를 측정해 본다는 말이 아닐까 합니다. 확률이 주장하는 바를 시험하는 것은 과학에서는 그 확률 모델로서 '자연을 설명할 수 있는 가' 일겁니다. 예를들면 '기체의 역학적 모델'이 '기체의 열학' 모델을 설명할 수 있는가 입니다. 열역학은 기체의 확률모델이 자연에서 유용함을 보여줍니다.
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2번 문제는 흑백에 의한 순환논리가 아닐까요? 과학은 2000년전이든 5천년전의 사실이든지 과학적 사실은 사실로 믿게 됩니다. 논리에는 항상 '모순'이 존재합니다. 예를들면 집합론에서 칸토르 모순, 즉 '자기 자신을 포함하지 않는 집합들의 집합'과 같은 논리적 모순이 존재합니다. 논리에서는 모순을 피해가려고 하죠.
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과학도
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뭐.. 랜덤은 "주기적이지 않은것"이 아닐까요? 주기적이란 일정한 주기N을 반복하면 그 상태가 똑같이 (구별못하게) 재현되는것이죠,
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과학도
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크레타섬의 거짓말장이와 같은 허점이 있는 이분논리에 과학이 아직 갖혀있다는건 무지로 보이네요. 철학이라면 모를까.. 확률이 도입되면서 이 수준(아리스토텔레스의 논리학)은 넘었습니다. 퍼지논리가 이분논리에서의 혁명적인 도약이라고 주장하는건 무지이거나 과장입니다.
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전산과학에서만 국한된다고 봅니다. 퍼지논리의 혁명성의 의의는..
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과학도
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수학에서의 무한은 비교적 잘 정의되어 있죠. 쇼요유님 말씀처럼..(무한에도 대소가 있다고 주장한 칸토르가 정신병자로 몰려 비참한 노년을 보낸 뒷얘기가 있습니다.) 수학이야 워낙 엄정함을 따지는 과학의 도구분야이니 무한을 정의했지만 "과학에 있어서의 무한"의 공식적인 정의는 없겠죠.
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과학도
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다만 과학에서의 무한이 일반인들이 생각하는 무한과 본질적으로 다른점이 하나 있는데.. 그것을 논함에 있어서 바로 우리의 막바로 직관에 빌기보다("장자"처럼?) 수학적 분석의 태도에 영향받아 가능한 한 좀더 확실한 지식들로부터 출발해 논하려고 한다는 것이죠. 따라서 과학에서의 연속량들은 (미분,적분처럼) 이처럼 보다 이해와 다룸이 쉽고 믿을만한 이산량들에 대한 분석을 블럭으로 정의,이해를 시도하기 마련입니다.(물론 그 뒤에는 과학자의 직관이 있지만요)
