다른 사람들 의견

• 노랭이군 (11-06-11 14:39)

    해당 분야의 수학책을 열심히 보진 않아서 약간 오류가 있을진 모르겠습니다만...
  (1) 도함수 dy/dx의 기존 정의를 바탕으로는 분명 불가능합니다. 그냥 외우기 쉬우라고 만든 notation에 불과한데 쪼개지는 게 될 리 없죠.
  (2) <a href=http://100.naver.com/100.nhn?docid=66931 target=_blank>http://100.naver.com/100.nhn?docid=66931</a> <a href=http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form target=_blank>http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form</a>
  을 참고하시면 아시겠지만, dx, dy에 해당하는 것을 미분/미분형식으로 따로 정의해서 쪼개서 쓸 수 있습니다. 사실 우리가 미분 미분 말하는 건 정확히는 미분이 아니라 미분법이죠. dy/dx가 가진 여러 성질들과 연결되는 면이 있어서 다변수미적분학과 미분기하학에서 자주 사용되는 걸로 압니다. 하지만 dy, dx 자체를 숫자만큼 자유자재로 사용하는 건 안 될 겁니다.

  해당 분야의 수학책을 열심히 보진 않아서 약간 오류가 있을진 모르겠습니다만... (1) 도함수 dy/dx의 기존 정의를 바탕으로는 분명 불가능합니다. 그냥 외우기 쉬우라고 만든 notation에 불과한데 쪼개지는 게 될 리 없죠. (2) <a href=http://100.naver.com/100.nhn?docid=66931 target=_blank>http://100.naver.com/100.nhn?docid=66931</a> <a href=http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form target=_blank>http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form</a> 을 참고하시면 아시겠지만, dx, dy에 해당하는 것을 미분/미분형식으로 따로 정의해서 쪼개서 쓸 수 있습니다. 사실 우리가 미분 미분 말하는 건 정확히는 미분이 아니라 미분법이죠. dy/dx가 가진 여러 성질들과 연결되는 면이 있어서 다변수미적분학과 미분기하학에서 자주 사용되는 걸로 압니다. 하지만 dy, dx 자체를 숫자만큼 자유자재로 사용하는 건 안 될 겁니다.
• passioning (11-06-11 19:28)

    답변 감사합니다~
  
  좀 더 엄밀한 설명을 부탁드려도 될까요?
  수학적으로 '정확하게' 어떻게 되는지 알고 싶습니다!

  답변 감사합니다~ 좀 더 엄밀한 설명을 부탁드려도 될까요? 수학적으로 '정확하게' 어떻게 되는지 알고 싶습니다!
• 남영우 (11-06-11 23:32)

    dx, dy 의 정확한 정의는 미적분학의 범위를 넘어섭니다. 명칭은 differential 인데, 일반적으로 df 는 f 가 어떤 공간에서 이미지로 정의되는 함수이고, df 는 f 즉 function 을 고정시켰을때, 그 함수가 induce 하는 linearity 를 가지는 함수로 정의됩니다. 이 때, df 정의역의 원소는 df/dx 를 계수로 가지는 벡터가 됩니다.
  
  대학원 1학기에 나오는 기하학을 공부해야 이해할 수 있는 내용이고요.
  
  미적분학에서는 그냥 형식으로 기억하면 됩니다.
  
  치환적분할때 나오는 f'(x)dx = dy 라는 형태로 알고 있으면 됩니다. 다른 명칭은 chain rule 이라고 합니다.

  dx, dy 의 정확한 정의는 미적분학의 범위를 넘어섭니다. 명칭은 differential 인데, 일반적으로 df 는 f 가 어떤 공간에서 이미지로 정의되는 함수이고, df 는 f 즉 function 을 고정시켰을때, 그 함수가 induce 하는 linearity 를 가지는 함수로 정의됩니다. 이 때, df 정의역의 원소는 df/dx 를 계수로 가지는 벡터가 됩니다. 대학원 1학기에 나오는 기하학을 공부해야 이해할 수 있는 내용이고요. 미적분학에서는 그냥 형식으로 기억하면 됩니다. 치환적분할때 나오는 f'(x)dx = dy 라는 형태로 알고 있으면 됩니다. 다른 명칭은 chain rule 이라고 합니다.
• 남영우 (11-06-11 23:36)

    dx, dy는 숫자는 아니고, 함수 f(x)=y 가 정해진 상태에서 나타나는 linear function 이 됩니다. 어려운 점은 f(x) 변하면서 나타나는 변화량은 전혀 linear 가 안된다는 것인데, 이 변화에 관한 성질은 조금 다른개념으로 접근해야 합니다.
  
  그럼 dy/dx는 이 때 뭐냐하는 문제가 생기는데, 이 때 쓰는 식이 (증명은 생략합니다) dy = f'(x)dx 입니다. 그러니까 dy, dx를 기하학에서 따로 정의해도 여전히 형식적으로 dy/dx 를 f'(x) 로 정의할 수 있습니다.

  dx, dy는 숫자는 아니고, 함수 f(x)=y 가 정해진 상태에서 나타나는 linear function 이 됩니다. 어려운 점은 f(x) 변하면서 나타나는 변화량은 전혀 linear 가 안된다는 것인데, 이 변화에 관한 성질은 조금 다른개념으로 접근해야 합니다. 그럼 dy/dx는 이 때 뭐냐하는 문제가 생기는데, 이 때 쓰는 식이 (증명은 생략합니다) dy = f'(x)dx 입니다. 그러니까 dy, dx를 기하학에서 따로 정의해도 여전히 형식적으로 dy/dx 를 f'(x) 로 정의할 수 있습니다.
• Psychedelist (11-06-12 14:10)

    저기.... 위에 남영우님께서 말씀하신것중에
  생략된 증명에 대해 알려주실분 안계시나요...
  저도 이거에 대해 고민 많이 했습니다..
  

  저기.... 위에 남영우님께서 말씀하신것중에 생략된 증명에 대해 알려주실분 안계시나요... 저도 이거에 대해 고민 많이 했습니다..
• 비가 (11-06-13 23:28)

    passioning님 질문을 굉장히 명확하게 하시네요. 저도 오래전에 한참을 헷갈려 고생했던 문젠데요. 다시 정리해 볼까 했는데 쓰던 수학책들 몽땅 한국집으로 보내버렸네요.
  
  그냥 사변적으로 몇자 적자면,
  
  x, y는 변수라고도 하고요, 같은 notation으로 (x,y)- coordinate로 쓰일때가 있고요.
  dx, dy는 변수 x,y의 infinitesimal 증분이라고도 하고요, coordinate (x,y)의 접벡터의 관점에서 그 양을 다루기도 하고요. 혹은 더 확장시켜 접벡터를 먹는 함수(one-form) 라고 생각하기도 하고요.
  
  dx가 됐든 d/dx가 됐든 dx/dy가 됐든 그 x가 어디서서 정의된 무엇으로 쓰였는지만 확실히 하시고 definition을 따라 받아들이시는 것이 불필요한 고생을 덜 하실 꺼예요. 수학에서는 universal한 notation을 쓸꺼란 생각을 하기 쉬운데 그렇지가 않고요, 다른 언어와 마찬가지로 context안에서 정의 되고 해석되어야 합니다. 
  
  M이란 공간에서 정의된 작은 양은 근본적으로 M과 관련된 선형적인 성질과관련이 있어요. 곡면위에 사는 우리가 local 하게 땅은 평면이라고 인식하는 것 처럼요. 그래서 dx와 같은 infinitesimal한 양(its concept can be extended to functions and further to functionals with the same notation)은 어떤 관점에서 생각하든 선형화 시키려는 노력이라는 말을 하고 싶네요.

  passioning님 질문을 굉장히 명확하게 하시네요. 저도 오래전에 한참을 헷갈려 고생했던 문젠데요. 다시 정리해 볼까 했는데 쓰던 수학책들 몽땅 한국집으로 보내버렸네요. 그냥 사변적으로 몇자 적자면, x, y는 변수라고도 하고요, 같은 notation으로 (x,y)- coordinate로 쓰일때가 있고요. dx, dy는 변수 x,y의 infinitesimal 증분이라고도 하고요, coordinate (x,y)의 접벡터의 관점에서 그 양을 다루기도 하고요. 혹은 더 확장시켜 접벡터를 먹는 함수(one-form) 라고 생각하기도 하고요. dx가 됐든 d/dx가 됐든 dx/dy가 됐든 그 x가 어디서서 정의된 무엇으로 쓰였는지만 확실히 하시고 definition을 따라 받아들이시는 것이 불필요한 고생을 덜 하실 꺼예요. 수학에서는 universal한 notation을 쓸꺼란 생각을 하기 쉬운데 그렇지가 않고요, 다른 언어와 마찬가지로 context안에서 정의 되고 해석되어야 합니다. M이란 공간에서 정의된 작은 양은 근본적으로 M과 관련된 선형적인 성질과관련이 있어요. 곡면위에 사는 우리가 local 하게 땅은 평면이라고 인식하는 것 처럼요. 그래서 dx와 같은 infinitesimal한 양(its concept can be extended to functions and further to functionals with the same notation)은 어떤 관점에서 생각하든 선형화 시키려는 노력이라는 말을 하고 싶네요.
• passioning (11-06-14 22:32)

    허허...답변 감사합니다.
  정확하게 이해는 하지 못한듯하나 대강 방향은 잡은 것 같습니다.
  (이렇게 뜨뜨미지근한 느낌 정말 싫긴합니다..)
  
  수학적 notation이 보편적이지 않을 수 있다니,,, 신선한 깨달음을 주신 '비가'님께 감사드립니다.
  
  나름 간단한 문제인줄 알았는데, 대학원 수준의 기하학적 이해가 필요하다니 놀랍군요
  
  다시 한번 멋진 답변 감사드립니다!!

  허허...답변 감사합니다. 정확하게 이해는 하지 못한듯하나 대강 방향은 잡은 것 같습니다. (이렇게 뜨뜨미지근한 느낌 정말 싫긴합니다..) 수학적 notation이 보편적이지 않을 수 있다니,,, 신선한 깨달음을 주신 '비가'님께 감사드립니다. 나름 간단한 문제인줄 알았는데, 대학원 수준의 기하학적 이해가 필요하다니 놀랍군요 다시 한번 멋진 답변 감사드립니다!!
• 남영우 (11-06-15 07:34)

    제가 좀 과장했나 보네요. 정의가 기하학 교재에 나옵니다. 기하학 시작하기 이전에 나오는 정의입니다. 학부때는 그 정의를 거의 안씁니다. 그냥 infinitesimal quantity 로 이야기하는데, 그렇게 이해해도 사용하는데는 지장이 없기 때문입니다.
  
  dx1, dx2 같은 변량을 1-form 이라고도 하는데, 사실 point 를 고정시켜놓고 선형대수를 이용해서 설명합니다. 다양체 설명에서 나오는 것은 그냥 df 인데, y=f(x) 라고 놓으면, dy 라고 써도 됩니다.
  
  그런데, point 가 움직이면서 바로 공간속에서 변화하니까 기하학적인 문제가 나옵니다. 사실 두 가지를 다 봅니다.

  제가 좀 과장했나 보네요. 정의가 기하학 교재에 나옵니다. 기하학 시작하기 이전에 나오는 정의입니다. 학부때는 그 정의를 거의 안씁니다. 그냥 infinitesimal quantity 로 이야기하는데, 그렇게 이해해도 사용하는데는 지장이 없기 때문입니다. dx1, dx2 같은 변량을 1-form 이라고도 하는데, 사실 point 를 고정시켜놓고 선형대수를 이용해서 설명합니다. 다양체 설명에서 나오는 것은 그냥 df 인데, y=f(x) 라고 놓으면, dy 라고 써도 됩니다. 그런데, point 가 움직이면서 바로 공간속에서 변화하니까 기하학적인 문제가 나옵니다. 사실 두 가지를 다 봅니다.
• 남영우 (11-06-15 07:44)

    다변수 미적분학에서 vector field 를 정의하면서 각방향의 편미분값을 계수로 놓고, dx dy 에 해당하는 것을 vector 로 놓기도 합니다. 어차피 접선방향이라는 방향이 중요하니까 길이를 1로 만들어서 infinitesimal 문제를 피해서 갑니다. 이 때, coordinate 에 해당하는 dx, dy 등이 벡터가 되면서 (point 가 고정된 채로) 그런걸 모아놓은 집합이 vector space 가 되고요.
  
  point를 움직이면서 기하학에서 관심을 가지는 structure가 거기에 동시에 겹쳐서 나옵니다. 대표적인게 Lie derivative 같은게 있습니다. 보통 (대학원 1학기) 기하학이 이렇게 시작을 합니다.
  
  form 을 이용해서 접근하는 방식은 복소기하학이나 다변수 복소함수론이거나 그런 복소수를 이용하면 거의 반드시 dx, dy 등의 form 을 먼저 나옵니다.
  
  아니면 미분다양체의 정의부터 시작해서 differential form 을 정의하면서 그 다음에 vector field 를 정의하는 방식도 있습니다.
  
  미적분학보다 기하학에서 dx,dy 같은 form 이 나오는 이유 중 하나는 실수공간이 아닌 다양체 공간은 위에서 언급한 chain rule이 조금 바뀝니다. 딱 안떨어지는 부분이 있는데, 그걸 계산해야 하는 부분들이 생깁니다. 그래서, 그런 정의나 그런 것들을 처음에 소개합니다.

  다변수 미적분학에서 vector field 를 정의하면서 각방향의 편미분값을 계수로 놓고, dx dy 에 해당하는 것을 vector 로 놓기도 합니다. 어차피 접선방향이라는 방향이 중요하니까 길이를 1로 만들어서 infinitesimal 문제를 피해서 갑니다. 이 때, coordinate 에 해당하는 dx, dy 등이 벡터가 되면서 (point 가 고정된 채로) 그런걸 모아놓은 집합이 vector space 가 되고요. point를 움직이면서 기하학에서 관심을 가지는 structure가 거기에 동시에 겹쳐서 나옵니다. 대표적인게 Lie derivative 같은게 있습니다. 보통 (대학원 1학기) 기하학이 이렇게 시작을 합니다. form 을 이용해서 접근하는 방식은 복소기하학이나 다변수 복소함수론이거나 그런 복소수를 이용하면 거의 반드시 dx, dy 등의 form 을 먼저 나옵니다. 아니면 미분다양체의 정의부터 시작해서 differential form 을 정의하면서 그 다음에 vector field 를 정의하는 방식도 있습니다. 미적분학보다 기하학에서 dx,dy 같은 form 이 나오는 이유 중 하나는 실수공간이 아닌 다양체 공간은 위에서 언급한 chain rule이 조금 바뀝니다. 딱 안떨어지는 부분이 있는데, 그걸 계산해야 하는 부분들이 생깁니다. 그래서, 그런 정의나 그런 것들을 처음에 소개합니다.
• 남영우 (11-06-15 08:00)

    dx 같은게 사실 point 를 고정했을때 선형함수이고, 변화량 자체는 함수와 연관되어 dy = f'(x)dx 라는 관계를 가집니다. 직관적으로 이해하고 싶으면, 그냥 접선방향으로 생각할 수도 있습니다. 증분이란게 결국 비율로 나타내면 secant line의 기울기이고, 극한이 tangent line 의 기울기니까요.
  
  다변수 미적분학으로 가면 각각의 편미분에 대한 접방향을 각각의 dx1, dx2 라고 이해해도 됩니다. 사실 크기는 없고 방향만 있는데, 이걸 단위길이의 벡터로 놓으면 vector field 의 벡터로 볼 수 있습니다. 앞의 글과 중복되는데, 다변수미적분학 이상 공부하다가 보면 감이 오는때가 있을 것입니다.

  dx 같은게 사실 point 를 고정했을때 선형함수이고, 변화량 자체는 함수와 연관되어 dy = f'(x)dx 라는 관계를 가집니다. 직관적으로 이해하고 싶으면, 그냥 접선방향으로 생각할 수도 있습니다. 증분이란게 결국 비율로 나타내면 secant line의 기울기이고, 극한이 tangent line 의 기울기니까요. 다변수 미적분학으로 가면 각각의 편미분에 대한 접방향을 각각의 dx1, dx2 라고 이해해도 됩니다. 사실 크기는 없고 방향만 있는데, 이걸 단위길이의 벡터로 놓으면 vector field 의 벡터로 볼 수 있습니다. 앞의 글과 중복되는데, 다변수미적분학 이상 공부하다가 보면 감이 오는때가 있을 것입니다.
• passioning (11-06-16 03:43)

    깊이 있는 답변 감사합니다.
  그런데 아직 아는 것이 부족하기만해서 그런지 잘 와닿지가 않습니다.
  아직까지는요!
  
  더 공부하면 남영우님의 설명이 깊이 와닿는 날이 오겠죠?...

  깊이 있는 답변 감사합니다. 그런데 아직 아는 것이 부족하기만해서 그런지 잘 와닿지가 않습니다. 아직까지는요! 더 공부하면 남영우님의 설명이 깊이 와닿는 날이 오겠죠?...