거울에서 좌우가 바뀌어 보입니다.  위아래는 안 바뀝니다.  왜 이런 걸까요?

물어보는 사람이 있어서 생각해봤습니다.  제대로 생각한 것인지는 모르겠습니다.

거울에 위한 반사는 대칭변환인데요.  3차원에서 거울 법선(normal)벡터 x와 이에 수직인 y(가로),z(세로)를 생각합니다.  이 좌표계에서 z cross x = y 가 됩니다. 
거울면에 좌표계 원점을 잡고요.  거울에 의한 대칭변환에서 x -> -x  되지만, y,z는 안 바뀝니다.
거울에 반사된 상에서는 이렇게 됩니다.  사람이 무의식적으로 거울 안에 있는 상을 보면서 먼저 위아래(z)와 앞뒤(-x) 방향을 정하고, z와-x 외적(Cross Product)으로 나머지 가로방향을 정하게 됩니다.  하지만 z cross -x = -(z cross x) = -y 가 되므로 좌우가 바뀌게 됩니다.
다시 적으면, 거울에 의한 반사변환으로 직교좌표계가 왼손좌표계 <-> 오른손좌표계 서로 바뀌게 됩니다.  거울에 대한 1번 수직축(원래 좌표계와 뒤집힌)과 2번 평행축(원래 좌표계와 같은)을 정하면 나머지 3번째 1개 축은 저절로 뒤집힙니다. 
말하지면 사람이 위아래를 기준(2번축)으로 삼기에 좌우가 뒤집히는 것입니다.  여기에서 사람이 거울에 평행이고 수평인 방향을 2번축으로 잡으면 좌우는 그대로이고 위아래가 뒤집히겠습니다.  하지만 어린이들이 좌우를 잘 구별하지 못하는 데서 보듯이, 위아래가 좌우보다 구별하기 쉽기에 기준이 되는 것 아닐까요?  일단 중력이 있고, 사람은 좌우는 대칭이지만 위아래는 대칭이 아닙니다.

그림과 수식을 쓰면 쉬울텐데, 그러지 못해서 알아보기 어려운 글이 되었습니다.