다른 사람들 의견

• 인과응보 (02-11-07 13:31)

    양끝단 문제해결은 사색자님의 방법과 동일합니다. 수치미분문제는 Peric의 공개코드를 분석해보시면 답을 얻을수 있을 것입니다.

  양끝단 문제해결은 사색자님의 방법과 동일합니다. 수치미분문제는 Peric의 공개코드를 분석해보시면 답을 얻을수 있을 것입니다.
• 사색자 (02-11-07 19:38)

    peric 이라면 CFD 책을 지은 그 사람을 말씀하시는거 같은데, 좀더 미분문제에 대한 고견을 하사해주실 수 있으시겠습니까?

  peric 이라면 CFD 책을 지은 그 사람을 말씀하시는거 같은데, 좀더 미분문제에 대한 고견을 하사해주실 수 있으시겠습니까?
• 푸푸 (02-11-07 22:50)

    그게 forward, backward 냐 central 이나 하는 문제입니다. 경계 근방이 경우 central scheme을 쓸 수 없기 때문에 forward나 backward를 쓰게 됩니다. 즉, 2차 정확도의 2차 미분같은 경우 5점을 구할때는 4점과 6점을 쓰는데요. 아님 경우에 따라서 4,5,6 세가지 점을 사용하는데요. 1점의 경우 backward를 적용하면 1,2,3 점이 되겠지요. 1,2,3 점에 대한 가중치는 사용하는 각 schme에 따라 달라지고요. 이게 수학적으로는 같은 정확도를 가지지만 아무래도 중앙차분법보다는 결과의 정확도가 떨어질거 같네요.

  그게 forward, backward 냐 central 이나 하는 문제입니다. 경계 근방이 경우 central scheme을 쓸 수 없기 때문에 forward나 backward를 쓰게 됩니다. 즉, 2차 정확도의 2차 미분같은 경우 5점을 구할때는 4점과 6점을 쓰는데요. 아님 경우에 따라서 4,5,6 세가지 점을 사용하는데요. 1점의 경우 backward를 적용하면 1,2,3 점이 되겠지요. 1,2,3 점에 대한 가중치는 사용하는 각 schme에 따라 달라지고요. 이게 수학적으로는 같은 정확도를 가지지만 아무래도 중앙차분법보다는 결과의 정확도가 떨어질거 같네요.
• 푸푸 (02-11-07 22:54)

    다른 방법도 있는데요. 1점이 경계이면 경계 밖에 ghost point를 만들어 사용하는 경우도 있습니다. 즉 -1, 0 점과 같이 실제 도메인 밖에 임의의 점을 주는 방법이지요. 거기는 경계조건과 함께 도메인 내부이 점을 이용하여 extrapolation을 이용하여 값을 주면 내부의 점과 같은 똑같은 scheme을 쓰겠지요. 여기서 중요한 것은 외삽을 이용하여 값을 부여할때 외삽의 정확도도 같은 정확도를 이용해야 겠지요. 그런데 아마 이게 한방향 차분법(forward나 backward)을 사용한 결과하고 같은 이산화 방정식이 될것입니다.

  다른 방법도 있는데요. 1점이 경계이면 경계 밖에 ghost point를 만들어 사용하는 경우도 있습니다. 즉 -1, 0 점과 같이 실제 도메인 밖에 임의의 점을 주는 방법이지요. 거기는 경계조건과 함께 도메인 내부이 점을 이용하여 extrapolation을 이용하여 값을 주면 내부의 점과 같은 똑같은 scheme을 쓰겠지요. 여기서 중요한 것은 외삽을 이용하여 값을 부여할때 외삽의 정확도도 같은 정확도를 이용해야 겠지요. 그런데 아마 이게 한방향 차분법(forward나 backward)을 사용한 결과하고 같은 이산화 방정식이 될것입니다.
• 사색자 (02-11-08 02:46)

    extrapolation을 하더라도 경계에서의 3차 미분값의 accuracy는 많이 낮아집니다. 한번 besselj(0,x)를 놓고 미분을 해보시면, 1차는 잘 나오는데 3차미분에서 경계포인트에서의 미분값은 정확도가 많이 떨어집니다. 더 골치아픈 문제는 경계에서 singularity가 나오는 경우인데요, 예를 들어 반원을 그려놓고 원의 양끝단점에서 1차미분값이 infinity가 되죠? 이럴 경우에는 외삽값도 쓸수없는데, 물론 이런 singular point를 피하기 위해 경계 바로 안쪽에서 계산을 해줍니다만, 그래도 3차 미분값은 굉장히 작은값을 가집니다.(0에 가까운 값이 아니고 - 무한대에 가까운값) 이럴 경우 아주 작은 값의 차이라도 3차미분값에서는 꽤 큰 차이가 나타나거든요.

  extrapolation을 하더라도 경계에서의 3차 미분값의 accuracy는 많이 낮아집니다. 한번 besselj(0,x)를 놓고 미분을 해보시면, 1차는 잘 나오는데 3차미분에서 경계포인트에서의 미분값은 정확도가 많이 떨어집니다. 더 골치아픈 문제는 경계에서 singularity가 나오는 경우인데요, 예를 들어 반원을 그려놓고 원의 양끝단점에서 1차미분값이 infinity가 되죠? 이럴 경우에는 외삽값도 쓸수없는데, 물론 이런 singular point를 피하기 위해 경계 바로 안쪽에서 계산을 해줍니다만, 그래도 3차 미분값은 굉장히 작은값을 가집니다.(0에 가까운 값이 아니고 - 무한대에 가까운값) 이럴 경우 아주 작은 값의 차이라도 3차미분값에서는 꽤 큰 차이가 나타나거든요.
• 사색자 (02-11-08 02:49)

    한번 besselj(0,x)의 그래프를 x=0..10의 범위에서 데이타포인트 50개정도로 그린다음 3차 미분값을 구해보시면 양끝단에서 정확도가 꽤 떨어짐을 발견하실겁니다. 하다못해 sinusoidal curve도 마찬가지 현상이 벌어지는데... 한번 시험해보시길... :) 간단한듯 하면서도 골치아프네요. 좋은 아이디어 가지신분 안계신가요?

  한번 besselj(0,x)의 그래프를 x=0..10의 범위에서 데이타포인트 50개정도로 그린다음 3차 미분값을 구해보시면 양끝단에서 정확도가 꽤 떨어짐을 발견하실겁니다. 하다못해 sinusoidal curve도 마찬가지 현상이 벌어지는데... 한번 시험해보시길... :) 간단한듯 하면서도 골치아프네요. 좋은 아이디어 가지신분 안계신가요?
• 푸푸 (02-11-08 08:01)

    특이점이나 경계치에서 변화율 값이 매우 큰 경우 그 변화율을 정확히 구할 수 있는 해상도 문제가 아닌가 싶습니다. 내부 도메인 문제에서도 사인파 같은 경우 0에서 360도를 구할때 180도 근방도 비슷한 경우로 마찬가지가 아닌가 싶네요.

  특이점이나 경계치에서 변화율 값이 매우 큰 경우 그 변화율을 정확히 구할 수 있는 해상도 문제가 아닌가 싶습니다. 내부 도메인 문제에서도 사인파 같은 경우 0에서 360도를 구할때 180도 근방도 비슷한 경우로 마찬가지가 아닌가 싶네요.
• 푸푸 (02-11-08 08:41)

    참 그리고 "예를 들어 반원을 그려놓고 원의 양끝단점에서 1차미분값이 infinity가 되죠? 이럴 경우에는 외삽값도 쓸수없는데"라고 하셨는데 미분값 자체를 외삽하신다는 말씀이신지요. 보통의 경우 미분전의 값을 이용하여 1차, 2차, 3차 고차의 미분값을 구하는 것으로 알고 있거든요. 원래 질문의 의도가 그렇게 구한다는 말씀이신지. 에구 잘 모르겠네요. 참 그리고 수치적인 문제에서는 특이점을 피해가면서 계산해야 합니다.

  참 그리고 "예를 들어 반원을 그려놓고 원의 양끝단점에서 1차미분값이 infinity가 되죠? 이럴 경우에는 외삽값도 쓸수없는데"라고 하셨는데 미분값 자체를 외삽하신다는 말씀이신지요. 보통의 경우 미분전의 값을 이용하여 1차, 2차, 3차 고차의 미분값을 구하는 것으로 알고 있거든요. 원래 질문의 의도가 그렇게 구한다는 말씀이신지. 에구 잘 모르겠네요. 참 그리고 수치적인 문제에서는 특이점을 피해가면서 계산해야 합니다.
• 사색자 (02-11-08 09:06)

    푸푸님의 여러 조언에 감사드립니다. 어떤 커브의 3차 미분값을 구하는데 양끝단에서의 부정확함을 보정할 수 있는 방법에 대한 설명중 extrapolation이 나오길래 (1) 반원과 같이 끝단점에서 굉장히 큰 변화율을 가지는 경우 (2) 끝단점이 singularity의 문제점을 가지는 경우를 들어 extrapolation 방법이 최선의 방법은 아니란 것을 말씀드렸습니다. 그리고, 외삽법이 만능이 아닌게, curve가 regular하지 않을때, 즉 어느 점에서 급격한 변화율을 보이면 3차 미분값은 고사하고 2차미분값도 부정확해집니다. 그런데, besselj(0,x)이나 sin(x)의 경우에는 어느정도 regular하다고 말할 수 있지만, 그래도 양끝단점에서는 부정확해집니다. 5 point를 잡고 계산을 해도

  푸푸님의 여러 조언에 감사드립니다. 어떤 커브의 3차 미분값을 구하는데 양끝단에서의 부정확함을 보정할 수 있는 방법에 대한 설명중 extrapolation이 나오길래 (1) 반원과 같이 끝단점에서 굉장히 큰 변화율을 가지는 경우 (2) 끝단점이 singularity의 문제점을 가지는 경우를 들어 extrapolation 방법이 최선의 방법은 아니란 것을 말씀드렸습니다. 그리고, 외삽법이 만능이 아닌게, curve가 regular하지 않을때, 즉 어느 점에서 급격한 변화율을 보이면 3차 미분값은 고사하고 2차미분값도 부정확해집니다. 그런데, besselj(0,x)이나 sin(x)의 경우에는 어느정도 regular하다고 말할 수 있지만, 그래도 양끝단점에서는 부정확해집니다. 5 point를 잡고 계산을 해도
• 사색자 (02-11-08 09:15)

    끝단점에서는 central differencing method를 쓰지 못해서 안쪽으로 편향되게 포인트를 잡고 미분을 하기때문에 끝단점에서는 항상 부정확한값이 나오게 마련인데요, polynomial fitting을 해도 결국은 마찬가지 현상이 발생합니다. 저는 singular point가 있어서 좀 골치아프지만, 이 문제는 일단 넘어가고 한번 3차 미분값을 구하는 루틴을 만들어보시면 제 말의 의미가 나오지 싶네요. 그냥 간단히 sin, bessel, parabolic, quarter circle 을 3차까지 미분해보는 매틀랩 루틴을 아래 올려볼터이니 실행해보세요. :)

  끝단점에서는 central differencing method를 쓰지 못해서 안쪽으로 편향되게 포인트를 잡고 미분을 하기때문에 끝단점에서는 항상 부정확한값이 나오게 마련인데요, polynomial fitting을 해도 결국은 마찬가지 현상이 발생합니다. 저는 singular point가 있어서 좀 골치아프지만, 이 문제는 일단 넘어가고 한번 3차 미분값을 구하는 루틴을 만들어보시면 제 말의 의미가 나오지 싶네요. 그냥 간단히 sin, bessel, parabolic, quarter circle 을 3차까지 미분해보는 매틀랩 루틴을 아래 올려볼터이니 실행해보세요. :)