물리량과 단위에 대한 인식
- 글쓴이
- 타임스케일
- 등록일
- 2013-09-10 18:15
- 조회
- 7,461회
- 추천
- 0건
- 댓글
- 5건
관련링크
아직 과학과 융합된 쪽으로는 연구를 많이 않했기 때문에 많은 조언을 부탁합니다.
평소에 물리량 5cm, 2kg등에서 수와 단위사이에 곱셈연산이 있는 것으로 보아야 하는가? 라는 의문을 갖게 되었습니다. 그렇다면 단위 cm는 수이거나 실함수이거나 아니면 벡터여야 합니다.
실제로 최근 논문중에 단위를 벡터로 보고(정확하게는 semi-vector) 수와 단위사이에 스칼라곱이 있는 것으로 되어 있습니다. 그리고 물리량사이의 곱셈은 tensor곱으로 해석하였더군요. 그러나 이것은 물리량이 성질이라는 것과 연결이 잘 되지않아 저 나름대로 다음과 같이 생각 했습니다.
백과사전(위키)에 물리량이란 ‘크기를 비교할 수 있는 물리적 성질’이라고 나옵니다. 수학에서 성질이란 명제함수 또는 조건과 같은 말입니다. 쉽게 말하면 성질이란 ‘몇개의 변수를 포함하는 선언적 문장 또는 식으로서 변수에 구체적인 값을 대입하면 이 문장이 참이거나 거짓이 되는 것’을 말합니다. 예를 들어 P(x)=[x>5], Q(x,y)=[y는 x보다 키가 크다], R(x,y,z)=[y는 x의 아버지이고 z는 y의 할머니이다]등은 성질입니다. 논리학에서 보통 참을 T로 나타내고 거짓을 F로 나타냅니다. 그러나 편의상 수학에서는 참을 1로 나타내고 거짓을 0으로 나타냅니다. 또 참과 거짓의 집합을 2={0,1}로 나타냅니다. 이 표현을 사용하면 성질 이란 P:X->2 꼴의 함수를 말합니다. 성질 P의 진리집합을
A={x∈X∣P(x)} 라 하면 성질 P는 특성함수 C_A:X->2 와 같습니다.
두 개의 성질 P,Q:X->2 에 대하여 P이면 항상 Q일 때 P=>Q로 나타내고 P=>Q이고 Q=>P인 것을 P<=>Q 로 나타냅니다. P,Q를 특성함수로 보면 P<=>Q는 함수의 상등으로 볼 수 있고 경우에 따라 P<=>Q 대신 P=Q로 나타내도 됨을 알 수 있습니다.
성질 R:A×B->2 를 A에서 B로의 관계라고 합니다. A=B일 때 A×B를 A^2로 쓰고 이때 R를 A에서의 관계라고 합니다. 관계 R:A×B->2 이 함수관계라는 것은 임의의 x∈A에 대하여 y∈B 가 유일하게 존재하여 R(x,y)일 때를 말합니다.
실수에서의 관계 ≥ 을 ≥(x,y)로 표현하지 않고 y≥x 로 표현하는 것처럼 관계
R(x,y)도 yRx로 나타냅니다. 관계 R:A×B->2 에서 원소 y∈B를 고정시키면 성질 x∈A↦yRx 는 A를 정의역으로 하는 성질입니다. 이 성질은 yR:A->2꼴의 성질입니다.
관계 R:X^2->2 에 대하여
(1)모든 x∈X 에 대하여 xRx 일 때 R 은 반사적이라하고
(2)yRx 이고 xRy 이면 항상 x=y 일 때 R은 반대칭적이라 하고
(3)yRx이면 항상 xRy 일 때 R은 대칭적이라 하고
(4)zRy 이고 yRx 이면 항상 zRx 일 때 R은 추이적이라 하고
(5)R이 반사적이고 추이적이며 임의의 x,y∈X 에 대하여 yRx 이거나 xRy 일 때 R을 전순서관계 또는 X에서의 측도(measure)라 합니다.
(6)R이 반사적,대칭적,추이적일 때 R을 동치관계라 합니다.
(7)R이 전순서이고 반대칭적일 때 R을 단순전순서라 합니다.
R:X^2 ->2 이 측도일 때 관계 R' :X^2->2 를 yR'x=[yRx 이고xRy이다] 로 정의 하면 R'은 에서 동치관계임을 쉽게 알 수 있습니다. 이때 임의의 y∈X 에 대하여 성질 yR' 을 (넓은 의미의)물리량 또는 y의 크기(scale)라 합니다. 집합 X/R' 을
X/R'={yR'∣y∈X} 로 정의하고 X/R' 에서 관계 R* 를 (yR')R*(xR')=[yRx] 로 정의하면 R*는 잘 정의되고 R* 는 단순전순서입니다.
따라서 임의의 두 물리량 xR',yR' 는 순서 R* 에 의하여 크기를 비교할 수 있는 물리적 성질임을 알 수 있습니다.
R:X^2 ->2 이 측도이고 u:X->ℝ 가 실함수라 하자. 이때 임의의 x,y∈X 에 대하여 yRx=[u(y)≥u(x)] 이면 함수 u:X->ℝ를 측도 R:X^2 ->2의 단위라 합니다.
u가 측도 R 의 단위일 때 u(x)=a(즉 aux )이면 xR' 과 au (여기서 au는 X에서의 성질)는 같은 성질임을 쉽게 알 수 있습니다. 즉 xR'=au 입니다.
예를 들어 ℱ를 모든 유한집합들의 집합이라하고 이집합에서 관계 R을 임의의
A,B∈ℱ에 대하여 BRA=[A에서B로 단사함수가 존재한다] 로 정의하면 R은 측도이고 함수 개:ℱ->ℝ 를 개(A)=(A의 원소의 갯수) 로 정의하면 함수 ‘개’는 측도 R의 단위임을 알 수 있습니다.
또 다른 예로서 등식 1m=100cm를 설명해 보겠습니다.
INT 를 모든 선분들의 집합이라 하고 I=AB,J=CD 가 두 선분일 때 길이측도
L:INT^2->2를 JLI=[J는 I와 합동이거나 C,D사이에 점 E가 존재하여 I와 CE는 합동이다] 로 정의하면 관계 L은 집합 INT 에서 측도이다. 이제 두 함수
cm:INT->ℝ와 m:INT->ℝ를 다음과 같이 정의 합시다.
길이가 1센티미터로 알려져있는 선분 중 하나를 I_0라 놓고 임의의 선분 I∈INT 의 길이가 I_0 의 a 배 일 때 cm(I)=a 로 정의 한다. 마찬가지로 1메터의 선분중 하나를 고정하여 함숫값 m(I)를 정한다. 두 함수 cm와 m 가 측도 L의 단위가 됨은 명백하다. 또 임의의 I∈INT 에 대하여
cm(I)=100∙m(I) (여기서 는 보통의 곱셈이다)이다. 따라서 임의의 I∈INT 에 대하여
1mI <=> m(I)=1
<=> 100∙m(I)=100
<=> cm(I)=100
<=> 100cmI
이고 I 가 임의의 선분이므로 두 성질 1m 와 100cm 는 같다.
즉 1m=100cm 입니다.
다른 사람들 의견
-
QED
()
저는 수학은 대학교에서 물리학을 위한 수학만을 공부한 사람임을 밝힙니다. 전공은 물리학이고요. 따라서 수학의 measure theory는 잘 모릅니다. 위의 논거는 수와 단위는 어떠한 object의 성질을 기술하는 언어라고 이해하겠습니다.
참고로 여담이지만 이와 관련되어 몇년전에 제로존이론이라는 수와 단위의 결합에 대한 주장을 검토했었습니다. 이 주장은 물리학계의 검토결과 오류라는 판정을 받았지만 일단 논문에는 발표가 되었습니다.
단위를 어떠한 object의 성질을 기술하는 언어라고 했을 때 언어의 형태가 비록 달라져도 같은 성질을 의미할 수 있습니다. 물리학의 방정식은 다른 성질들로 보이는 것들 끼리 관계들이 있음을 보여주는 것이고요. 여기까지는 수학적으로 물리학적으로 아무런 문제는 없습니다.
다만 성질을 기술하는 언어의 정확도는 문제가 됩니다. 가령 어떠한 상수의 값을 적을때 이 값을 인위적으로 정하지 않는 이상 불확성도를 가지게 됩니다. 따라서 상수의 값이 등호로 표현되었을 때에는 이 불확정도를 내포하고 있습니다. 흔히 유효숫자라고 표현합니다. 제로존 주장은 이 불확정도를 무시합니다.
위의 수학적인 논거에서는 이 유효숫자에 대한 논의가 들어있는 것 같지는 않습니다. 즉 물리학에서는 1 m 는 1.00 m 와 동치가 아닙니다. 따라서 100 cm = 1.00 m 이라고 써야 합니다. 즉 단위를 바꾸는 행위는 우리가 이 성질을 얼마나 아느냐하는 정보가 내포되어 있고 이 내용이 단위의 선택이나 또는 다른 유효숫자 표기법으로 들어가게 되는 것입니다.
(또 여담입니다만 제로존 이론이 물리학의 측정이론과 유효숫자에 나름의 논거 있다면 다시 진지하게 공부를 해보고 싶기는 합니다.)
-
avaritia
()
단위와 주요 상수를 모두 간단한 수치로 바꿔서 식들을 '엮은' 제로존이 거시기한 이유는 '틀려서' 라기보다는 아무런 물리학적 함의가 없기 때문입니다. 어떠한 현상을 설명하지도, 가설을 검증하지도 못합니다. 이것을 '흥미로운 시도'가 아닌 '삼라만상의 원리'라고 주장하면 구라의 범주로 넘어가는거죠.
-
타임스케일
()
저는 왜 제글을 읽고 제로존이론을 떠올리시는지 이해가 가지않습니다. 저도 제로존이론을 읽어 보았는데 황당하다는 느낌을 받았고 만일 제로존이론이 맞다고 하더라도 자연현상을 기술하기에는 불편할거라는 생각을 했습니다. 저는 기존의 단위체계를 부정하려는 것이 아니라 단위체계를 확실하게 이해 할려고 했을 뿐입니다.
가령 중고등학교 수와 식의 연산에서 나오는 등식 (2x)(3y)=6xy 는 두 함수
f(x,y)=(2x)(3y) 와 g(x,y)=6xy 같다(즉 f=g)는 뜻입니다.
다만 등식 1m=100cm는 문자와 식에서와는 달리 두성질 1m와 100cm가 동치(명제함수의 상등)라는 의미로 해석해야 한다고 생각합니다.
-
QED
()
제로존이론에 대한 것은 제 개인적인 과거 경험과 맞물려서이고 이 내용을 넣은 것은 사과드립니다.
다시 원래 전개하신 논거로 돌아가서 단위를 함수로서 이해하는 것에는 아무 문제가 없어 보입니다. 1 m=100 cm는 문자와 식에서와는 달리 두 성질 1 m와 100 cm가 동치라는 의미라는데 동의합니다. 다만 숫자의 정확도를 함께 내포하도록 유효숫자 개념을 넣어서 1.00 m = 100 cm 라고 하는 것이 좋을 것 같습니다. -
타임스케일
()
QED님 친절한 답변에 감사드립니다. 저는 측도와 단위의 의미만을 생각했기 때문에 이상적인 Euclid 3차원공간을 설정하였고 이 공간에서는 평행이동,회전이동,반사이동이 자유롭기 때문에 두 선분의 길이 비교에서 오차의 문제를 생각하지 않아도 된다고 생각하였습니다.
그러나 실제공간에서는 저도 QED님이 말씀하신 대로 유효숫자를 고려해야 한다고 생각합니다.
