다른 사람들 의견

• QED (13-09-16 10:38)

    측도 이론의 기본적인 가정은 측도라는 것이 다른 어떤 것과 관련이 없이 완벽히 독립적이라는 가정을 하는 것 같습니다. 그리고 측도는 countable additivity를 가져야 한다고 합니다. (wikipedia 참고)
  그런데 시간이 이러한 측도로서의 성질을 만족하느냐 하면 그렇지가 않습니다. 실제 자연계에서 관찰한 결과 공간에 독립적이지도 않고 additive하지도 않습니다. 따라서 기존의 측도로서의 시간의 개념이 틀린것이다라고 아인슈타인께서 고쳐주신겁니다.

  측도 이론의 기본적인 가정은 측도라는 것이 다른 어떤 것과 관련이 없이 완벽히 독립적이라는 가정을 하는 것 같습니다. 그리고 측도는 countable additivity를 가져야 한다고 합니다. (wikipedia 참고) 그런데 시간이 이러한 측도로서의 성질을 만족하느냐 하면 그렇지가 않습니다. 실제 자연계에서 관찰한 결과 공간에 독립적이지도 않고 additive하지도 않습니다. 따라서 기존의 측도로서의 시간의 개념이 틀린것이다라고 아인슈타인께서 고쳐주신겁니다.
• 타임스케일 (13-09-29 08:24)

    하나의 관성계 내에서는 시간측도를 생각할 수 있다고 생각합니다. 미분기하에서 크리스토펠심볼이 텐서의 성분은 아니지만 하나의 좌표게에서는 공변미분할 때 항상 중요한 역활을 하듯이 시간도 대역적 불변량은 아니지만 하나의 관성계 안에서는 보통의 시간역활을 한다고 생각합니다.

  하나의 관성계 내에서는 시간측도를 생각할 수 있다고 생각합니다. 미분기하에서 크리스토펠심볼이 텐서의 성분은 아니지만 하나의 좌표게에서는 공변미분할 때 항상 중요한 역활을 하듯이 시간도 대역적 불변량은 아니지만 하나의 관성계 안에서는 보통의 시간역활을 한다고 생각합니다.
• QED (13-10-24 15:40)

    저는 그렇게 생각하지 않습니다. 하나의 관성계라도 시간만으로는 측도로서 사용할 수 없음이 아인슈타인의 특수상대성이론의 로렌츠공식으로 나와 있습니다. 시공간을 함께 사용해야 합니다. 가속을하는 비관성계에서는 하물며 더할 나위도 없지요.

  저는 그렇게 생각하지 않습니다. 하나의 관성계라도 시간만으로는 측도로서 사용할 수 없음이 아인슈타인의 특수상대성이론의 로렌츠공식으로 나와 있습니다. 시공간을 함께 사용해야 합니다. 가속을하는 비관성계에서는 하물며 더할 나위도 없지요.
• 타임스케일 (13-10-25 17:16)

    QED님 특수상대론의 공리중의 하나인 광속불변의원리에서 ‘빛의 속력’이라는 용어는 어떻게 이해해야 하나요? 하나의 관성계에서 빛이 간거리를 걸린 시간으로 나눈 것이 빛의 속력이라고 한다면 이미 ‘거리측도’와 ‘시간측도’가 가정되어 있는 것 아닐까요? 
  

  QED님 특수상대론의 공리중의 하나인 광속불변의원리에서 ‘빛의 속력’이라는 용어는 어떻게 이해해야 하나요? 하나의 관성계에서 빛이 간거리를 걸린 시간으로 나눈 것이 빛의 속력이라고 한다면 이미 ‘거리측도’와 ‘시간측도’가 가정되어 있는 것 아닐까요?
• QED (13-10-31 16:53)

    특수상대론에 대해 조금 더 자세히 이야기 해야 할 것 같습니다. 이 이론은 빛의 속력의 불변성만 이야기 하는 것이 아니고 물리법칙의 동일성도 함께 이야기 합니다. 물리법칙 -가령 맥스월의 방정식과 같은- 이 보는 사람의 "상태"에 따라 달라진다면 어떻게 법칙이라고 할 수 있겠습니까? 이 두가지가 있기 때문에 시간과 공간이 따로따로 정의되는 게 아니다라는 거죠. 만일 이 이론이 빛의 속도에 대한 불변성만 이야기 한다면 시공간이 연결 될 조건이 부족해 지겠죠. 그리고 또한 만일 보는 사람에 따라 물리법칙이 다르면 되지 않느냐 하는 것도 가능하겠지요. 그러나 이 경우는 서로 다른 관측자간의 비교가 불가능하기 때문에 법칙이라고 말할 수가 없습니다. 
  그럼 문제는 속력을 어떻게 이해해야 하는냐 하는 건데 이것을 만일 거리와 시간이 따로따로 정의 된 다음에 나눈 값으로 정의하게 되면 결정적으로 우리가 측정하는 자연계의 현상과 다르게 관측됩니다. (이에 대한 증거들은 특수 상대론의 증명에 이용된 실험들에 대한 이해가 필요합니다만 web상에서 많이 찾아 볼 수 있을 겁니다.) 따라서 이렇게 따로따로 정의해서 나눈 속력이라는 개념은 적어도 우리 우주에서는 통용되지 않는다라고 판명을 하게 된 겁니다.
  만일 타임스케일님이 유클리드 공간의 갈릴레오 상대론만 가지고 측도론을 전개한다면 공간과 시간을 따로따로 정의해서 나눈 것으로 속력을 정의해도 됩니다. 하지만 맥스월 방정식과도 안맞고 관측결과와도 안맞겠지요.
  만일 진짜 측도론으로의 전개를 원하신 다면 시공간을 함께 다루는 측도를 고려하셔야 할 겁니다. 원래 고려하려고 하시는 측도의 개념이가 물리학에서 말하는 시공간 metric 인지는 잘 모르겠지만, (<a href=http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor_(general_relativity)) target=_blank>http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor_(general_relativity))</a> 시공간의 metric이라는 개념 또한 100년 전에 아인슈타인님이 일반상대론으로 이야기 하셨고 실험적으로도 (아직까진) 잘 맞더라라고 증명되어 있습니다. 아직까진이라고 한 이유는 이 이론이 웬지 양자역학과 잘 안맞기 때문입니다.

  특수상대론에 대해 조금 더 자세히 이야기 해야 할 것 같습니다. 이 이론은 빛의 속력의 불변성만 이야기 하는 것이 아니고 물리법칙의 동일성도 함께 이야기 합니다. 물리법칙 -가령 맥스월의 방정식과 같은- 이 보는 사람의 "상태"에 따라 달라진다면 어떻게 법칙이라고 할 수 있겠습니까? 이 두가지가 있기 때문에 시간과 공간이 따로따로 정의되는 게 아니다라는 거죠. 만일 이 이론이 빛의 속도에 대한 불변성만 이야기 한다면 시공간이 연결 될 조건이 부족해 지겠죠. 그리고 또한 만일 보는 사람에 따라 물리법칙이 다르면 되지 않느냐 하는 것도 가능하겠지요. 그러나 이 경우는 서로 다른 관측자간의 비교가 불가능하기 때문에 법칙이라고 말할 수가 없습니다. 그럼 문제는 속력을 어떻게 이해해야 하는냐 하는 건데 이것을 만일 거리와 시간이 따로따로 정의 된 다음에 나눈 값으로 정의하게 되면 결정적으로 우리가 측정하는 자연계의 현상과 다르게 관측됩니다. (이에 대한 증거들은 특수 상대론의 증명에 이용된 실험들에 대한 이해가 필요합니다만 web상에서 많이 찾아 볼 수 있을 겁니다.) 따라서 이렇게 따로따로 정의해서 나눈 속력이라는 개념은 적어도 우리 우주에서는 통용되지 않는다라고 판명을 하게 된 겁니다. 만일 타임스케일님이 유클리드 공간의 갈릴레오 상대론만 가지고 측도론을 전개한다면 공간과 시간을 따로따로 정의해서 나눈 것으로 속력을 정의해도 됩니다. 하지만 맥스월 방정식과도 안맞고 관측결과와도 안맞겠지요. 만일 진짜 측도론으로의 전개를 원하신 다면 시공간을 함께 다루는 측도를 고려하셔야 할 겁니다. 원래 고려하려고 하시는 측도의 개념이가 물리학에서 말하는 시공간 metric 인지는 잘 모르겠지만, (<a href=http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor_(general_relativity)) target=_blank>http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor_(general_relativity))</a> 시공간의 metric이라는 개념 또한 100년 전에 아인슈타인님이 일반상대론으로 이야기 하셨고 실험적으로도 (아직까진) 잘 맞더라라고 증명되어 있습니다. 아직까진이라고 한 이유는 이 이론이 웬지 양자역학과 잘 안맞기 때문입니다.
• 타임스케일 (13-11-04 17:04)

    QED님 저는 시간의 개념이 그렇게 단순한 것이 아니라고 생각합니다. 아인슈타인의 장방정식의 대역적해중의 하나인 Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walk solution을 이용하여 우주시간을 정의하지 않습니까?  이제 “시간이란 무엇인가? ” 에 대한 의문을 풀기 위하여 수학자,물리학자,철학자들이 협력해야 할 시점인 것 같습니다. 파인만이 말하길 “시간의 정의 보다는 시간을 어떻게 재느냐가 더 중요하다”라고 했습니다. 여기서 우리는 시간을 이해하기 위하여 측도론으로 접근하면 좋을 것이라는 생각이 듭니다.
  

  QED님 저는 시간의 개념이 그렇게 단순한 것이 아니라고 생각합니다. 아인슈타인의 장방정식의 대역적해중의 하나인 Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walk solution을 이용하여 우주시간을 정의하지 않습니까? 이제 “시간이란 무엇인가? ” 에 대한 의문을 풀기 위하여 수학자,물리학자,철학자들이 협력해야 할 시점인 것 같습니다. 파인만이 말하길 “시간의 정의 보다는 시간을 어떻게 재느냐가 더 중요하다”라고 했습니다. 여기서 우리는 시간을 이해하기 위하여 측도론으로 접근하면 좋을 것이라는 생각이 듭니다.
• QED (13-11-05 18:53)

    타임스케일님이 <a href=http://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann%E2%80%93Lema%C3%AEtre%E2%80%93Robertson%E2%80%93Walker_metric에서 target=_blank>http://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann%E2%80%93Lema%C3%AEtre%E2%80%93Robertson%E2%80%93Walker_metric에서</a> 이야기 하는 것처럼 FLRW metric의 cosmic time을 측도로 생각하신다면 당연히 거리의 개념과 빛의 속도의 개념이 이미 포함되어 있습니다. 여기서도 시간과 공간을 따로 정의하지 않습니다. 윗글 이전까지 타임스케일님은 이 시간을 "qT=4년+3년=7년"라고 쓰신 것 처럼 그냥 Euclidean frame에서 사용하셨기 때문에 저는 당연히 시공간이 함께 들어가는 metric을 사용해야 한다고 대답했던 것입니다. 이 FLRW metric은 시공간을 함께 사용하는 metric이 맞습니다.
  그럼 다시 원래문제로 돌아와서 수학의 측도론에서 요구하는 것 처럼 이 cosmic time이 countable additivity를 가지나요 ? 더 자세한 내용은 천체물리학을 연구하시는 분에게 물어봐야 할 거 같은데요 일단 위 wiki문헌을 보면 아닌거 같습니다. Transformation rule이 좀 복잡하게 보이는 군요. 그럼 measure theory에서 가정하는 바에 이미 위배되지 않나요 ?

  타임스케일님이 <a href=http://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann%E2%80%93Lema%C3%AEtre%E2%80%93Robertson%E2%80%93Walker_metric에서 target=_blank>http://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann%E2%80%93Lema%C3%AEtre%E2%80%93Robertson%E2%80%93Walker_metric에서</a> 이야기 하는 것처럼 FLRW metric의 cosmic time을 측도로 생각하신다면 당연히 거리의 개념과 빛의 속도의 개념이 이미 포함되어 있습니다. 여기서도 시간과 공간을 따로 정의하지 않습니다. 윗글 이전까지 타임스케일님은 이 시간을 "qT=4년+3년=7년"라고 쓰신 것 처럼 그냥 Euclidean frame에서 사용하셨기 때문에 저는 당연히 시공간이 함께 들어가는 metric을 사용해야 한다고 대답했던 것입니다. 이 FLRW metric은 시공간을 함께 사용하는 metric이 맞습니다. 그럼 다시 원래문제로 돌아와서 수학의 측도론에서 요구하는 것 처럼 이 cosmic time이 countable additivity를 가지나요 ? 더 자세한 내용은 천체물리학을 연구하시는 분에게 물어봐야 할 거 같은데요 일단 위 wiki문헌을 보면 아닌거 같습니다. Transformation rule이 좀 복잡하게 보이는 군요. 그럼 measure theory에서 가정하는 바에 이미 위배되지 않나요 ?
• 타임스케일 (13-11-09 09:55)

    QED님 다음과 같은 상황에 대하여 시간의 측도의 의미를 생각해 주시길 바랍니다.
  
  어느 마을에 두 사람 A,B가 태어나 이 마을을 떠나지 않고 소박하게 살다가 A는 60살에 죽고 B는 80살 까지 살고 죽었습니다. 이 상황 설정에서 마을 이라 한 것은 관성계의 한 지점이라고 봐도 될 것입니다. 그리고 소박하다는 것은 유별난 행동, 예를 들어 A,B중 한사람이 우주선을 타고 여행하는 등의 행동을 하지 않음을 말합니다.
  이 마을에 대하여 빛속도에 가까운 속도로 움직이는 다른 관성계에서 보기에는 A가 600년 B가 800년을 살았을 수도 있습니다. 그러나 모든 관성계에서 관측되는 공통의 성질은
  “B가 A보다 더 오래 살았다”입니다.
  측도에는 정성적측도와 정량적측도가 있습니다. 정성적측도는 어떤 물리적 성질들의 집합에서 a가 b보다 더 크다 또는 a는 b보다 더 작다 만을 기술하는 이 집합에서의 전순서 관계이고 정량적측도는 정성적측도에 단위를 설정하여 크기를 수량화 한것입니다.
   이런 관점에서 보면 정성적시간측도는 정의될 수 있고 로렌츠변환하에서 대하여 불변성임을 알 수 있습니다. 물론 정량적시간측도는 로렌츠변환하에서 불변량이 아닙니다.   
  

  QED님 다음과 같은 상황에 대하여 시간의 측도의 의미를 생각해 주시길 바랍니다. 어느 마을에 두 사람 A,B가 태어나 이 마을을 떠나지 않고 소박하게 살다가 A는 60살에 죽고 B는 80살 까지 살고 죽었습니다. 이 상황 설정에서 마을 이라 한 것은 관성계의 한 지점이라고 봐도 될 것입니다. 그리고 소박하다는 것은 유별난 행동, 예를 들어 A,B중 한사람이 우주선을 타고 여행하는 등의 행동을 하지 않음을 말합니다. 이 마을에 대하여 빛속도에 가까운 속도로 움직이는 다른 관성계에서 보기에는 A가 600년 B가 800년을 살았을 수도 있습니다. 그러나 모든 관성계에서 관측되는 공통의 성질은 “B가 A보다 더 오래 살았다”입니다. 측도에는 정성적측도와 정량적측도가 있습니다. 정성적측도는 어떤 물리적 성질들의 집합에서 a가 b보다 더 크다 또는 a는 b보다 더 작다 만을 기술하는 이 집합에서의 전순서 관계이고 정량적측도는 정성적측도에 단위를 설정하여 크기를 수량화 한것입니다. 이런 관점에서 보면 정성적시간측도는 정의될 수 있고 로렌츠변환하에서 대하여 불변성임을 알 수 있습니다. 물론 정량적시간측도는 로렌츠변환하에서 불변량이 아닙니다.
• QED (13-11-11 10:29)

    A와 B가 같은 관성계에 있다면 타임스케일님이 말씀하시는 소위 정성적시간의 개념 - 저는 time difference 라 부르겠습니다. -의 전순서관계는 당연히 유지될 것입니다. 그런데 "정성적시간"이 "측도"라는 건 이해할 수가 없군요.
  정성적 시간이 countable additivity를 가지나요 ? 예를 드신 문장이 매우 모호하므로 논문을 쓰듯이 하나의 예를 보여주시면 좋겠습니다. 그리고 measure theory를 다루시는 분이라면 countable additivity에 관한 질문에 대답해 주시기 바랍니다.

  A와 B가 같은 관성계에 있다면 타임스케일님이 말씀하시는 소위 정성적시간의 개념 - 저는 time difference 라 부르겠습니다. -의 전순서관계는 당연히 유지될 것입니다. 그런데 "정성적시간"이 "측도"라는 건 이해할 수가 없군요. 정성적 시간이 countable additivity를 가지나요 ? 예를 드신 문장이 매우 모호하므로 논문을 쓰듯이 하나의 예를 보여주시면 좋겠습니다. 그리고 measure theory를 다루시는 분이라면 countable additivity에 관한 질문에 대답해 주시기 바랍니다.
• 타임스케일 (13-11-17 10:09)

    수학을 하는 사람들은 물리학 쪽을 기웃거리다 만만해 보이는 것이 생기면 수학으로 가져가서 그 개념을 확장하여 수학적 구조로 만들어 버립니다. 저도 그런 사람들 중에 한사람입니다. 수학은 자유롭기 때문에(칸토르) 생각하는 것이 물리학 하는 사람들 보다 유연합니다. 물리학자들은 말합니다. “아인슈타인의 상대성이론 이후에 시간은 그 자체만으로는 의미가 없어, 공간과 서로 얽혀 있어서 시간은 독립적인 것이 아니야”. 그러나 그들은 우주의 나이가 137억년이라는 것에 동의합니다.
  
  
  이제 상대성이론을 떠나서 우리의 일상으로 돌아와 시간에 대한 특징을 몇가지 살펴 보면
  
  첫째, 시간은 독립변수이고 다른 모든 것들은 종속변수이다.
  시간을 어느 날 몇시로 정하면 우리 모두는 꼼짝없이 각자 유일한 장소에 있어야 하고 유일한 행동을 해야 합니다. 시간은 모든 것들을 자기에게 종속 시킵니다. 시간은 우리에게 강력한 통치자라는 느낌을 줍니다. 연대를 말할 때 세조 몇 년, 세종 몇 년등과 같이 말하는 것은 통치자는 독립변수(시간)이고 백성들은 종속변수라는 느낌을 줍니다.
  
  둘째, 우리의 일상에서는 모든 성질을 시간측도로 잴 수 있다.
  성질의 현재형 표현을 시제에 맞게 표현하고 시간측도를 T라 하고 단위를 ‘년’으로 하면
  [박정희는 대통령이었다]T = 18년
  [한국은 일본의 식민지 였다]T = 36년
  [1+1 = 2]T = ∞년
  
   물리학에서의 측도의 대상은 물리적 성질들이고(위키에서의 물리량의정의) 수학에서 측도의 대상은 집합들입니다. 다음 정리는 초보적인 것이면서도 이 간극을 말끔히 해소시켜 줍니다.       
  
  [정리1] X가 집합이고 P(X)가 X의 멱집합, 2^X가 X에서 모든 성질들의 집합이라 할 때 함수 h : 2^X -> P(X)를 h(p):={x: p(x)} (= p의 진리집합)로 정의하면 h는 전단사함수이고
  성질들의 논리곱,논리합,부정을 집합들의 교집합,합집합,여집합으로 보존한다.
  
  즉 논리적 구조 ( 2^X, and, or, not)은 수학적구조 ( P(X), 교집합,합집합,여집합)와 완전히 동형이므로 하나의 물리적 성질을 이에 대응하는 집합으로 보면 자연스럽게 물리학에서의 측도와 수학에서의 측도를 같은 것으로 볼 수 있습니다.
  
  어떤 변수 b가 변수 a에 종속된다는 것은 a가 값을 취함에 따라 b가 이에 대응하여 유일한 값을 취하는 것을 말합니다. 쉽게 말하면 b가 a의 함수인 것입니다. 한 변수를 다른 변수에 인위적으로 종속시킬 수도 있습니다. 예를 들어 어떤 사람의 한달 수입을 x라 하고 아들의 한달 용돈을 y라 할 때 어느날 아버지가 아들에게 ‘너의 용돈을 내 수입의 2%로 하겠다’ 라고 선언하면 변수 y는 변수 x에 종속됩니다.
  특수상대론의 앞 부분에 나오는 하나의 관성계에서의 동시성의 정의는 관성계내의 한점(좌표계의 원점)에 이 관성계의 모든점을 빛을 이용하여 인위적으로 종속시키는 것이라고 할 수 있습니다.  여기서는 관성계의 모든 점들도 각각 변수로 본것입니다. 이것을 이해하기 위해서 다음 정리가 필요합니다. 
  
  [정리2] 변수 b가 변수 a에 종속될 필요충분조건은 b의 임의의 성질 q에 대하여 a의 유일한 성질 p가 존재하여 q와 p가 동치가 되는 것이다. 즉 a의 성질이 b의 성질에 종속되는 것이다.
  
  예를들어 a가 실변수이고 변수 b가 관계 b=3a+6에 의하여 a에 종속되어 있다면 b의 성질
  ‘b>3' 는 a의 성질 ’a>-1' 와 동치입니다.
  또 하나의 예를 들면 b가 a의 아버지이면 b는 a에 부자관계로 종속되어 있습니다. 이 때 성질 q = [b는 잘 나가는 정치인 이다]는 b의 성질이지만 a의 성질 p = [a의 아버지는 잘 나가는 정치인 이다]와 같습니다.
  
  관성계 X에서 한점 a에 한사람이 무비카메라로 주변을 촬영하여 촬영과 동시에 방영한다고 하자. 관성계 내의 임의의 한점 b에서 또 한사람이 무비카메라로 주변을 촬영하여 촬영과 동시에 방영한다고 하자. 그리고 a,b 양쪽에 상대방에서 방영한 화면을 볼 수 있는 TV를 가지고 있다고 하자. a에서 시각 t-h(a가 옆에 놓인 시계로 잰 시각)에 찍힌 영상이 b에 도착하는 시점에 b에서 찍은 영상과 함께 a에서의 시각 t+h에 a에 되돌아 왔다고 할 때 시각 t-h에 a에서 찍힌 영상이 b에 도착하는 시점에 b가찍은 영상과 시각 t에 a에서 찍은 영상을 동시의 사건으로 정의 한다.
  
  이것은 특수상대론에서 동시성을 정의 한 것입니다. 영상이 a와 b의 모든 성질들을 상대방에 전달할 수 있다고 가정하면 이 동시성의 정의는 b의 임의의 성질에 a의 유일한 성질을 대응시키는 것이기도 하다. 또 이것은 정리2 에 의하여 변수 b를 변수 a에 종속시키는 것에 해당한다.
  b가 임의의 점이므로 특수상대론의 한 관성계에서 동시성을 정의하는 것은 이 관성계의 모든 점들을 한점 a에 종속시키는 것이기도 하다. 따라서 이 관성계에서 시간(시간측도)을 정의 하려면 한 점 a의 성질만을 시간측도의 대상으로 하면된다.
  
  어떻습니까? 이쯤에서 생각나는 것은 “시간이란 많은 종속변수(백성들)를 거느린 독립변수(강력한 통치자)라는 느낌을 받지 않습니까?
  물리학을 하는 사람들은 기본개념(시간, 길이, 질량)을 명확히 정의하지도 않고 오로지 자연을 관찰한 것만을 토대로 이론을 전개하는 것 같습니다. 물리학을 하는 사람들도 기본개념인 시간에 대한 탐구를 해야 한다고 생각합니다.
  

  수학을 하는 사람들은 물리학 쪽을 기웃거리다 만만해 보이는 것이 생기면 수학으로 가져가서 그 개념을 확장하여 수학적 구조로 만들어 버립니다. 저도 그런 사람들 중에 한사람입니다. 수학은 자유롭기 때문에(칸토르) 생각하는 것이 물리학 하는 사람들 보다 유연합니다. 물리학자들은 말합니다. “아인슈타인의 상대성이론 이후에 시간은 그 자체만으로는 의미가 없어, 공간과 서로 얽혀 있어서 시간은 독립적인 것이 아니야”. 그러나 그들은 우주의 나이가 137억년이라는 것에 동의합니다. 이제 상대성이론을 떠나서 우리의 일상으로 돌아와 시간에 대한 특징을 몇가지 살펴 보면 첫째, 시간은 독립변수이고 다른 모든 것들은 종속변수이다. 시간을 어느 날 몇시로 정하면 우리 모두는 꼼짝없이 각자 유일한 장소에 있어야 하고 유일한 행동을 해야 합니다. 시간은 모든 것들을 자기에게 종속 시킵니다. 시간은 우리에게 강력한 통치자라는 느낌을 줍니다. 연대를 말할 때 세조 몇 년, 세종 몇 년등과 같이 말하는 것은 통치자는 독립변수(시간)이고 백성들은 종속변수라는 느낌을 줍니다. 둘째, 우리의 일상에서는 모든 성질을 시간측도로 잴 수 있다. 성질의 현재형 표현을 시제에 맞게 표현하고 시간측도를 T라 하고 단위를 ‘년’으로 하면 [박정희는 대통령이었다]T = 18년 [한국은 일본의 식민지 였다]T = 36년 [1+1 = 2]T = ∞년 물리학에서의 측도의 대상은 물리적 성질들이고(위키에서의 물리량의정의) 수학에서 측도의 대상은 집합들입니다. 다음 정리는 초보적인 것이면서도 이 간극을 말끔히 해소시켜 줍니다. [정리1] X가 집합이고 P(X)가 X의 멱집합, 2^X가 X에서 모든 성질들의 집합이라 할 때 함수 h : 2^X -> P(X)를 h(p):={x: p(x)} (= p의 진리집합)로 정의하면 h는 전단사함수이고 성질들의 논리곱,논리합,부정을 집합들의 교집합,합집합,여집합으로 보존한다. 즉 논리적 구조 ( 2^X, and, or, not)은 수학적구조 ( P(X), 교집합,합집합,여집합)와 완전히 동형이므로 하나의 물리적 성질을 이에 대응하는 집합으로 보면 자연스럽게 물리학에서의 측도와 수학에서의 측도를 같은 것으로 볼 수 있습니다. 어떤 변수 b가 변수 a에 종속된다는 것은 a가 값을 취함에 따라 b가 이에 대응하여 유일한 값을 취하는 것을 말합니다. 쉽게 말하면 b가 a의 함수인 것입니다. 한 변수를 다른 변수에 인위적으로 종속시킬 수도 있습니다. 예를 들어 어떤 사람의 한달 수입을 x라 하고 아들의 한달 용돈을 y라 할 때 어느날 아버지가 아들에게 ‘너의 용돈을 내 수입의 2%로 하겠다’ 라고 선언하면 변수 y는 변수 x에 종속됩니다. 특수상대론의 앞 부분에 나오는 하나의 관성계에서의 동시성의 정의는 관성계내의 한점(좌표계의 원점)에 이 관성계의 모든점을 빛을 이용하여 인위적으로 종속시키는 것이라고 할 수 있습니다. 여기서는 관성계의 모든 점들도 각각 변수로 본것입니다. 이것을 이해하기 위해서 다음 정리가 필요합니다. [정리2] 변수 b가 변수 a에 종속될 필요충분조건은 b의 임의의 성질 q에 대하여 a의 유일한 성질 p가 존재하여 q와 p가 동치가 되는 것이다. 즉 a의 성질이 b의 성질에 종속되는 것이다. 예를들어 a가 실변수이고 변수 b가 관계 b=3a+6에 의하여 a에 종속되어 있다면 b의 성질 ‘b>3' 는 a의 성질 ’a>-1' 와 동치입니다. 또 하나의 예를 들면 b가 a의 아버지이면 b는 a에 부자관계로 종속되어 있습니다. 이 때 성질 q = [b는 잘 나가는 정치인 이다]는 b의 성질이지만 a의 성질 p = [a의 아버지는 잘 나가는 정치인 이다]와 같습니다. 관성계 X에서 한점 a에 한사람이 무비카메라로 주변을 촬영하여 촬영과 동시에 방영한다고 하자. 관성계 내의 임의의 한점 b에서 또 한사람이 무비카메라로 주변을 촬영하여 촬영과 동시에 방영한다고 하자. 그리고 a,b 양쪽에 상대방에서 방영한 화면을 볼 수 있는 TV를 가지고 있다고 하자. a에서 시각 t-h(a가 옆에 놓인 시계로 잰 시각)에 찍힌 영상이 b에 도착하는 시점에 b에서 찍은 영상과 함께 a에서의 시각 t+h에 a에 되돌아 왔다고 할 때 시각 t-h에 a에서 찍힌 영상이 b에 도착하는 시점에 b가찍은 영상과 시각 t에 a에서 찍은 영상을 동시의 사건으로 정의 한다. 이것은 특수상대론에서 동시성을 정의 한 것입니다. 영상이 a와 b의 모든 성질들을 상대방에 전달할 수 있다고 가정하면 이 동시성의 정의는 b의 임의의 성질에 a의 유일한 성질을 대응시키는 것이기도 하다. 또 이것은 정리2 에 의하여 변수 b를 변수 a에 종속시키는 것에 해당한다. b가 임의의 점이므로 특수상대론의 한 관성계에서 동시성을 정의하는 것은 이 관성계의 모든 점들을 한점 a에 종속시키는 것이기도 하다. 따라서 이 관성계에서 시간(시간측도)을 정의 하려면 한 점 a의 성질만을 시간측도의 대상으로 하면된다. 어떻습니까? 이쯤에서 생각나는 것은 “시간이란 많은 종속변수(백성들)를 거느린 독립변수(강력한 통치자)라는 느낌을 받지 않습니까? 물리학을 하는 사람들은 기본개념(시간, 길이, 질량)을 명확히 정의하지도 않고 오로지 자연을 관찰한 것만을 토대로 이론을 전개하는 것 같습니다. 물리학을 하는 사람들도 기본개념인 시간에 대한 탐구를 해야 한다고 생각합니다.
• QED (13-11-18 12:57)

    자세하게 적어주신 것 감사합니다. 이제야 타임스케일님이 시간에 대해 어떠한 정의를 시도하시려는지 알 것 같습니다. 지금부터는 저의 생각과 아인시타인의 생각을 분리하도록 하겠습니다. 다른 이야기가 없다면 아인시타인의 생각을 서술한다고 여기시면 되겠습니다.
  현재까지 시간에 대한 두 가지의 이해방법이 있다고 (<a href=http://en.wikipedia.org/wiki/Time)에 target=_blank>http://en.wikipedia.org/wiki/Time)에</a> 나와 있군요. 아인시타인은 이 두 가지의 철학적 관점 중 전자의 방법으로 이해를 하고 있습니다. 즉 뉴톤과 같이 시간은 "실재"한다고 보는 것입니다.  물론 뉴토니안 관성계를 이야기하는 것이 아니고 로렌츠 공식에 의해서 변형되어야 하는 시공간의 개념으로 이해를 하여야 하지만 시간은 "실재"한다고 보는 관점입니다. 이 관점에 의하면 시간은 측정될 수 있거나 비교 될 수 있습니다. 사실 이렇게 측정되거나 비교하기 위해서 어쩔 수 없이 받아들여야 하는 관점들 중의 하나이기도 합니다. 만일 시간을 실재하지 않는 것으로 이해하면 서로 다른 관측자가 측정하거나 비교할 수가 없게 되어 객관적인 쓸모가 없게 되겠지요.
  타임스케일님의 관점을 이야기 하면 위의 관점처럼 시간을 실재하고 측정 가능한 것으로 이해하시고 싶어하는 것 같습니다. 따라서 전단사함수화를 하고 시간을 함수로 정의하는 이상 그 종속변수의 값끼리의 비교와 순서를 이야기 할 수 있게 됩니다. 따라서 타임스케일님의
  [첫째, 시간은 독립변수이고 다른 모든 것들은 종속변수이다. ............... 따라서 이 관성계에서 시간(시간측도)을 정의 하려면 한 점 a의 성질만을 시간측도의 대상으로 하면 된다.]
  까지의 논거에 아인시타인도 동의할 겁니다.
  만일 타임스케일님의 시간이 FLRW metric의 cosmic time이라면 저도 시간의 함수화에 대해서 동의합니다. 따라서 측정가능하고 비교가능하고 더하거나 빼는 연산을 할 수 있구요.
  다만 물리학자들이 시간의 기본개념에 대한 생각을 안 한다고 보시는 것 같은데 그것은 매우 틀린 생각입니다. 시간에 대해서 이미 다음과 같은 심각한 이슈들이 제기되어 왔고 많은 물리학자들이 아직도 논의를 하고 있습니다. 저만해도 시간이 전단사함수 일까 하는 의문이 드는군요. 수학자들은 시간이 전단사함수라는 걸 아마 가정하시겠지만 물리학자들은 그게 진짜 전단사함수일지 실험을 통하여 결정할 겁니다. 만일 전단사함수가 아니라고 하면 무슨 문제가 있을까요 ? 독립변수의 집합들 중 시간을 정의할 수 있는 집합과 정의할 수 있는 집합이 분리되는 게 존재하지 않을까요 ? 따라서 정의가 안 되는 사물 - 가령 전자 - 에는 null이 대응되고 정의할 수 있는 집합에만 시각이 대응된다고 해도 별 문제 없을 거 같은데요. 또한 어떤 미시적인 물체와 어떤 거시적인 물체가 동일한 관성계에 있어서 동일한 종속변수가 할당되는 게 있지 않을까요?
   만일 전단사함수라고 해도 시간에는 방향이 없을까요 ? 이 문제도 또한 많은 사람들에 의해서 논의되어 왔습니다. 시간의 방향이 없다면 왜 우리가 실재한다고 보는 시간이 거꾸로 흐르지는 않는 것처럼 보일까요? 시간의 방향이 있다면 그 이유는 볼츠만이 이야기 한 것처럼 시스템의 크기가 커짐에 따른 통계적인 이유일까요 아니면 Weingard가 주장한 시간 potential이 있는 걸까요 ?
  물리학자들은 수학자들과는 다르게 시간에 대해서 명확한 정의를 객관적으로 하되 측정해서 그 정의가 우리가 살고 있는 자연계와 잘 맞는 정의를 하기 위해 매우 노력하고 있습니다. 물론 디랙이 delta함수를 쓸 때처럼 때로는 명확한 정의를 하지 않고 논거를 진행하는 경우가 있지만 자연의 관측결과와 맞는다면 배제하지 않고 씁니다. 이게 물리학이 발전하는 방법이기도 하구요.
  마지막으로 시간을 측도로 이해하시고자 하는 타임스케일님의 노력에 대해 경의를 표합니다. 저는 FLWR metric의 cosmic time을 측도로 이해하시고 논거를 진행하시면 좋겠다고 생각합니다.
  

  자세하게 적어주신 것 감사합니다. 이제야 타임스케일님이 시간에 대해 어떠한 정의를 시도하시려는지 알 것 같습니다. 지금부터는 저의 생각과 아인시타인의 생각을 분리하도록 하겠습니다. 다른 이야기가 없다면 아인시타인의 생각을 서술한다고 여기시면 되겠습니다. 현재까지 시간에 대한 두 가지의 이해방법이 있다고 (<a href=http://en.wikipedia.org/wiki/Time)에 target=_blank>http://en.wikipedia.org/wiki/Time)에</a> 나와 있군요. 아인시타인은 이 두 가지의 철학적 관점 중 전자의 방법으로 이해를 하고 있습니다. 즉 뉴톤과 같이 시간은 "실재"한다고 보는 것입니다. 물론 뉴토니안 관성계를 이야기하는 것이 아니고 로렌츠 공식에 의해서 변형되어야 하는 시공간의 개념으로 이해를 하여야 하지만 시간은 "실재"한다고 보는 관점입니다. 이 관점에 의하면 시간은 측정될 수 있거나 비교 될 수 있습니다. 사실 이렇게 측정되거나 비교하기 위해서 어쩔 수 없이 받아들여야 하는 관점들 중의 하나이기도 합니다. 만일 시간을 실재하지 않는 것으로 이해하면 서로 다른 관측자가 측정하거나 비교할 수가 없게 되어 객관적인 쓸모가 없게 되겠지요. 타임스케일님의 관점을 이야기 하면 위의 관점처럼 시간을 실재하고 측정 가능한 것으로 이해하시고 싶어하는 것 같습니다. 따라서 전단사함수화를 하고 시간을 함수로 정의하는 이상 그 종속변수의 값끼리의 비교와 순서를 이야기 할 수 있게 됩니다. 따라서 타임스케일님의 [첫째, 시간은 독립변수이고 다른 모든 것들은 종속변수이다. ............... 따라서 이 관성계에서 시간(시간측도)을 정의 하려면 한 점 a의 성질만을 시간측도의 대상으로 하면 된다.] 까지의 논거에 아인시타인도 동의할 겁니다. 만일 타임스케일님의 시간이 FLRW metric의 cosmic time이라면 저도 시간의 함수화에 대해서 동의합니다. 따라서 측정가능하고 비교가능하고 더하거나 빼는 연산을 할 수 있구요. 다만 물리학자들이 시간의 기본개념에 대한 생각을 안 한다고 보시는 것 같은데 그것은 매우 틀린 생각입니다. 시간에 대해서 이미 다음과 같은 심각한 이슈들이 제기되어 왔고 많은 물리학자들이 아직도 논의를 하고 있습니다. 저만해도 시간이 전단사함수 일까 하는 의문이 드는군요. 수학자들은 시간이 전단사함수라는 걸 아마 가정하시겠지만 물리학자들은 그게 진짜 전단사함수일지 실험을 통하여 결정할 겁니다. 만일 전단사함수가 아니라고 하면 무슨 문제가 있을까요 ? 독립변수의 집합들 중 시간을 정의할 수 있는 집합과 정의할 수 있는 집합이 분리되는 게 존재하지 않을까요 ? 따라서 정의가 안 되는 사물 - 가령 전자 - 에는 null이 대응되고 정의할 수 있는 집합에만 시각이 대응된다고 해도 별 문제 없을 거 같은데요. 또한 어떤 미시적인 물체와 어떤 거시적인 물체가 동일한 관성계에 있어서 동일한 종속변수가 할당되는 게 있지 않을까요? 만일 전단사함수라고 해도 시간에는 방향이 없을까요 ? 이 문제도 또한 많은 사람들에 의해서 논의되어 왔습니다. 시간의 방향이 없다면 왜 우리가 실재한다고 보는 시간이 거꾸로 흐르지는 않는 것처럼 보일까요? 시간의 방향이 있다면 그 이유는 볼츠만이 이야기 한 것처럼 시스템의 크기가 커짐에 따른 통계적인 이유일까요 아니면 Weingard가 주장한 시간 potential이 있는 걸까요 ? 물리학자들은 수학자들과는 다르게 시간에 대해서 명확한 정의를 객관적으로 하되 측정해서 그 정의가 우리가 살고 있는 자연계와 잘 맞는 정의를 하기 위해 매우 노력하고 있습니다. 물론 디랙이 delta함수를 쓸 때처럼 때로는 명확한 정의를 하지 않고 논거를 진행하는 경우가 있지만 자연의 관측결과와 맞는다면 배제하지 않고 씁니다. 이게 물리학이 발전하는 방법이기도 하구요. 마지막으로 시간을 측도로 이해하시고자 하는 타임스케일님의 노력에 대해 경의를 표합니다. 저는 FLWR metric의 cosmic time을 측도로 이해하시고 논거를 진행하시면 좋겠다고 생각합니다.
• QED (13-11-18 15:44)

    또 한가지 첨언하고 싶은데, 시간이라는 개념을 전자나 양성자와 같은 미시object들이 어떻게 받아들이나 하는 문제가 있습니다. 가령 시공간과 같은 geometry와 object가 따로 정의가 되어서 object들이 공통된 시공간 geometry에 떠다니는 것으로 이해하는 게 맞는지의 여부입니다. 어쨌든 타임스케일님의 정의를 사용하려면 이렇게 시공간과 object를 따로 가정을 해야 합니다.
   그러나 요즘 이론물리학의 최고봉인 초끈 이론 에서는 이 둘의 구분을 할 수 없다고 하는 것 같습니다. 즉 초끈이 시공간도 만들고 질량이나 에너지와 같은 것으로 파악되는 object도 만들어 낸다 하는 것이지요. 어느 것이 맞는지는 아직 실험적으로 증명된바 없어서 모릅니다. 만일 이 이론이 맞는다면 시간의 개념을 따로 이해하는 것은 무의미합니다. 참고하세요.
  

  또 한가지 첨언하고 싶은데, 시간이라는 개념을 전자나 양성자와 같은 미시object들이 어떻게 받아들이나 하는 문제가 있습니다. 가령 시공간과 같은 geometry와 object가 따로 정의가 되어서 object들이 공통된 시공간 geometry에 떠다니는 것으로 이해하는 게 맞는지의 여부입니다. 어쨌든 타임스케일님의 정의를 사용하려면 이렇게 시공간과 object를 따로 가정을 해야 합니다. 그러나 요즘 이론물리학의 최고봉인 초끈 이론 에서는 이 둘의 구분을 할 수 없다고 하는 것 같습니다. 즉 초끈이 시공간도 만들고 질량이나 에너지와 같은 것으로 파악되는 object도 만들어 낸다 하는 것이지요. 어느 것이 맞는지는 아직 실험적으로 증명된바 없어서 모릅니다. 만일 이 이론이 맞는다면 시간의 개념을 따로 이해하는 것은 무의미합니다. 참고하세요.
• 타임스케일 (13-11-18 19:49)

    QED님의 상세한 조언에 감사 드립니다.
  수학에서 변수는 무정의 용어입니다. 저는 모든 것들은 다 변수라고 생각합니다. 사람도 변수이고, 지구도 변수이고, 우주도 변수입니다. 시간을 정의 하려면 한 변수에 다른 모든 변수들을 종속시킬 필요가 있습니다. 여기서 두 변수의 독립과 종속의 의미를 말하기 위하여 변수의 의미를 다소 축소해야할 필요가 있습니다. 예를들어 a라는 한사람을 변수로 볼 때 이 사람이 죽고난 후는 별 의미가 없습니다. 따라서 변수 a의 성질인  Q(a) = [a는 살아 있다]라는 조건을 주어 Q의 범위에서만 변수 a를 생각하는 것이 의미가 있습니다.
  
  이제부터는 변수 x가 있으면 이 변수의 변역, 즉 이 변수가 취할 수 있는 모든 값들의 집합 Ran(x)를 같이 생각하겠습니다. 수학에서는 하나의 변수에 공리를 주어 이변수의 변역을 제한하여 군, 위상공간, 유클리드공간 등의 수학적 구조를 만들어 냅니다.
  
  두 변수 x,y가 있을 때 두 변수의 순서쌍 (x,y)도 하나의 변수입니다.
  Ran(x,y) = Ran(x)×Ran(y)이면 두 변수 x,y는 서로 독립이라 합니다. 또 두변수가 독립이 아닐 때 종속이라 합니다. 물론 여기서의 종속은 한 변수가 다른 변수에 함수종속이라는 뜻은 아닙니다. 만일 (x,y) = (a,b)이면 x=a 이고 y=b 이어야 합니다. 이것은 x와 y가 서로 종속이 아나라도 두변수 x,y는 모두 변수 (x,y)에 함수종속임을 말합니다. 따라서 우리는 서로 종속이 아닌 두변수 x,y가 있을 때 이 두 변수를 모두 종속시킬 수 있는 제 3의 변수를 찾으려면 (x,y)가 그 해답입니다. 이것은 두 변수보다 높은 차원의 변수를 택해야 함을 말합니다.
  제가 초끈이론은 잘 모르지만 아마 미시세계의 변수들과 거시세계의 변수들을 모두 종속시키기 위하여 11차원 까지 가지 않았나 싶습니다. 그러나 독립변수의 차원이 높아지는 것이 시간의 차원이 높아지는 것을 뜻하지는 않습니다.
  

  QED님의 상세한 조언에 감사 드립니다. 수학에서 변수는 무정의 용어입니다. 저는 모든 것들은 다 변수라고 생각합니다. 사람도 변수이고, 지구도 변수이고, 우주도 변수입니다. 시간을 정의 하려면 한 변수에 다른 모든 변수들을 종속시킬 필요가 있습니다. 여기서 두 변수의 독립과 종속의 의미를 말하기 위하여 변수의 의미를 다소 축소해야할 필요가 있습니다. 예를들어 a라는 한사람을 변수로 볼 때 이 사람이 죽고난 후는 별 의미가 없습니다. 따라서 변수 a의 성질인 Q(a) = [a는 살아 있다]라는 조건을 주어 Q의 범위에서만 변수 a를 생각하는 것이 의미가 있습니다. 이제부터는 변수 x가 있으면 이 변수의 변역, 즉 이 변수가 취할 수 있는 모든 값들의 집합 Ran(x)를 같이 생각하겠습니다. 수학에서는 하나의 변수에 공리를 주어 이변수의 변역을 제한하여 군, 위상공간, 유클리드공간 등의 수학적 구조를 만들어 냅니다. 두 변수 x,y가 있을 때 두 변수의 순서쌍 (x,y)도 하나의 변수입니다. Ran(x,y) = Ran(x)×Ran(y)이면 두 변수 x,y는 서로 독립이라 합니다. 또 두변수가 독립이 아닐 때 종속이라 합니다. 물론 여기서의 종속은 한 변수가 다른 변수에 함수종속이라는 뜻은 아닙니다. 만일 (x,y) = (a,b)이면 x=a 이고 y=b 이어야 합니다. 이것은 x와 y가 서로 종속이 아나라도 두변수 x,y는 모두 변수 (x,y)에 함수종속임을 말합니다. 따라서 우리는 서로 종속이 아닌 두변수 x,y가 있을 때 이 두 변수를 모두 종속시킬 수 있는 제 3의 변수를 찾으려면 (x,y)가 그 해답입니다. 이것은 두 변수보다 높은 차원의 변수를 택해야 함을 말합니다. 제가 초끈이론은 잘 모르지만 아마 미시세계의 변수들과 거시세계의 변수들을 모두 종속시키기 위하여 11차원 까지 가지 않았나 싶습니다. 그러나 독립변수의 차원이 높아지는 것이 시간의 차원이 높아지는 것을 뜻하지는 않습니다.
• QED (13-11-19 15:30)

    논의를 더 진행하기 위해서 필요한 것이 무엇인지요 ? 가령 x와 y와 같은 독립변수의 원소들이 될 수 있는 집합을 먼저 정의해야 하지 않을까요 ? 종속변수는 시간이라는 실수의 집합으로 하면될 것 같고요. 그리고 대응하는 함수의 성격을 정의해야 할 것 같은데 함수의 정의를 어떻게 하실건지요 ?

  논의를 더 진행하기 위해서 필요한 것이 무엇인지요 ? 가령 x와 y와 같은 독립변수의 원소들이 될 수 있는 집합을 먼저 정의해야 하지 않을까요 ? 종속변수는 시간이라는 실수의 집합으로 하면될 것 같고요. 그리고 대응하는 함수의 성격을 정의해야 할 것 같은데 함수의 정의를 어떻게 하실건지요 ?
• 타임스케일 (13-11-20 11:41)

    수학에서는 어떠한 변수도 독립변수의 위치에 놓을 수 있습니다. 가령 t가 실변수이면 변수 t^2은 t의 종속변수 이지만 변수들 t^4+2t^2, sint^2, 등은 모두 t^2의 종속변수입니다.
  따라서 어떤 논의에서 일단 한변수를 독립변수로 하기로 하면 그 변수에 종속된 함수들 만을 대상으로 논의하면 될 것입니다.
  
  이제 실질적인 변수 하나를 예시 하겠습니다. 서울시가 차지하고 있는 영역을 S라 합시다. S에는 대기권과 지하 1000m까지를 포함한 것으로 하겠습니다. 함수 f: S ->R을 임의의 점  s∈S에 대하여 f(s) = [s에서의 질량 밀도]라 놓으면 이 함수는 시시각각 다른 함수로 변합니다. 즉 f자체가 변수입니다. 가령 s가 서울 시내의 어떤 도로상의 60cm위에 있는 한 점이고 이 도로에 어떤 자동차가 지나간다고 할 때 이점에서의 밀도는 차례로 0->7.8(철의 밀도)->0 과 같이 변합니다. 질량의 분포로 어떠한 두 물체도 구별할 수 있다고 가정하면
  f가 특정한 값 f_0를 취할 때 즉 f = f_0일 때 모든 서울시에 살고있는 사람들의 위치나 행동 서울시에 있는 모든 사물의 위치나 움직임은 결정 됩니다. 따라서 서울시의 모든 것들에 대하여 변수 f는 독립변수입니다. f가 f=f_1, f=f_2, f=f_3 .....의 값을 취함에 따라 서울시내의 모든 변수들은(미시적 변수는 제외) 유일한 값을 취합니다. 서울시에서 반짝이는 불빛까지 포함시키려면 에너지밀도로 하면 될것입니다.
  만일 서울시를 전국으로 확대하여 밀도함수 g를 정의하면 f는 g의 정의역을 축소한 것이므로 변수 f는 g의 종속변수가 됩니다.
  위에서 든 예는 제한적 이기는 하지만 변수 f를 시간의 위치에 둘 수도 있습니다.   
  

  수학에서는 어떠한 변수도 독립변수의 위치에 놓을 수 있습니다. 가령 t가 실변수이면 변수 t^2은 t의 종속변수 이지만 변수들 t^4+2t^2, sint^2, 등은 모두 t^2의 종속변수입니다. 따라서 어떤 논의에서 일단 한변수를 독립변수로 하기로 하면 그 변수에 종속된 함수들 만을 대상으로 논의하면 될 것입니다. 이제 실질적인 변수 하나를 예시 하겠습니다. 서울시가 차지하고 있는 영역을 S라 합시다. S에는 대기권과 지하 1000m까지를 포함한 것으로 하겠습니다. 함수 f: S ->R을 임의의 점 s∈S에 대하여 f(s) = [s에서의 질량 밀도]라 놓으면 이 함수는 시시각각 다른 함수로 변합니다. 즉 f자체가 변수입니다. 가령 s가 서울 시내의 어떤 도로상의 60cm위에 있는 한 점이고 이 도로에 어떤 자동차가 지나간다고 할 때 이점에서의 밀도는 차례로 0->7.8(철의 밀도)->0 과 같이 변합니다. 질량의 분포로 어떠한 두 물체도 구별할 수 있다고 가정하면 f가 특정한 값 f_0를 취할 때 즉 f = f_0일 때 모든 서울시에 살고있는 사람들의 위치나 행동 서울시에 있는 모든 사물의 위치나 움직임은 결정 됩니다. 따라서 서울시의 모든 것들에 대하여 변수 f는 독립변수입니다. f가 f=f_1, f=f_2, f=f_3 .....의 값을 취함에 따라 서울시내의 모든 변수들은(미시적 변수는 제외) 유일한 값을 취합니다. 서울시에서 반짝이는 불빛까지 포함시키려면 에너지밀도로 하면 될것입니다. 만일 서울시를 전국으로 확대하여 밀도함수 g를 정의하면 f는 g의 정의역을 축소한 것이므로 변수 f는 g의 종속변수가 됩니다. 위에서 든 예는 제한적 이기는 하지만 변수 f를 시간의 위치에 둘 수도 있습니다.