힐베르트 공간과 에르미트 연산자...

글쓴이
바고성
등록일
2003-01-27 16:30
조회
9,827회
추천
2건
댓글
22건
안녕하세요!!!!
그냥 관심 삼아 양자컴퓨터 보고 있습니다...
양자역학관련해서 기본적인 개념을 몇달간 잡고....
좀 더 깊게 들어 가려니...
위의 두가지가 태클을 거네요.. -.-;; 생전 듣도 못한 건데...
위의 두가지에 대한 개념이나마 잡을 수 있는 책 있으면 소개해 주세요...
제대로 하려면 어떤 분야를 공부해야 하나요?

  • 소요유 ()

      후아~  힐버트 (Hilbert) 스페이스에 대한 수학적인 것은 보통 수리물리학책에서 다루어 집니다. 그런데 이를 공부하려면 Linear Algebra (선형대수)를 공부해야 제대로 이해할 수 있습니다. 즉 벡터스페이스라는 개념을 이해해야 합니다. 힐버트 스페이스는 그냥 무한차원 벡터스페이스로 이해하면 편리합니다.

  • 소요유 ()

      에르미트 연산자 (보통 Hermitian Operator, 허르미션 오퍼레이터라고 합니다)는 양자역학에서 도입됩니다. 그런데 그 수학적인 배경은 역시 수리물리학의 Liear Algebra, 즉 벡터스페이스 개념을 이해해야하고, 한편으로 물리학적인 면을 함께 공부하면 이해가 쉽습니다.  결국 수리물리학과 영자역학을 정식으로 공부해야 이 둘의 수학적이고 물리적인 개념을 '그런대로' 이해할 수 있습니다.

  • 바고성 ()

      흑흑.. 감사합니다.. 선형대수는 A를 받기는 했지만.. 오래전이라 기억이.. -.-;;; 직교, 기저, 일차독립 같은 용어들이 생각 나네요.. 다시 공부하고 재도전 해야 겠습니다.. 아~~ 난 왜 이렇게 모르는 것이 많은 걸까... 하나 하나 차근히 익혀 나가면 죽기전까지 얼마나 알 수 있을까? 세상 모든 것을 알고 싶은데.....

  • 송세령 ()

      저도 세상의 모든것을 죽기전까지 얼마나 알 수 있을까 파다가 포기했습니다. 그래서, 내가 알아볼 수 있는 몇가지에 선택과 집중하기로 했습니다. ^_^

  • 사색자 ()

      항상 개념정립에 실패하는 것이 직교성(orthogonality)입니다. 함수가 직교한다는 것은 어떤 의미가 있는지요? Fourier series도 함수의 직교성을 통해 도출된다는 것은 읽어서 알지만, 함수가 실제로 공간상에 그려질때 궤적들이 90도로 맞닿는다는 것인지 어떤지 개념이해가 잘 안됩니다.

  • 배성원 ()

      직교성이라고 우리가 '해석'해서 쓰고 있고 원어도 orthogonality라고 해서 직각 개념이라 하지만 그것을 꼭 기하학적인 직교의 개념으로 보면 이해의 폭을 스스로 제한하는 결과밖에 없을거 같습니다. 그냥 inner product가 제로라거나 하는 수학적 개념 그대로 이해하는 것이 어떨까요?

  • 공돌이 ()

      orthogonal 은 서로 영향을 미치지 않는다 라고 이해하셔야 합니다. 많은 책들에서 이렇게 가정하고 시작하는것은 그래야 단순해 져서 해석하기 편하고 또 실제로 우리가 바라는 바일 수도 있구요. 뭘 하나 제어 하려고 하는데 여러가지 펙터가 같이 영향을 미치면 아주 복잡해지죠.

  • 공돌이 ()

      2차평면에서 x,y는 서로 orthogonal 한 이유는 x를 아무리 바꿔도 y값에는 영향이 없기 때문입니다. 그리고 y 의 경우도 마찬가지구요

  • 소요유 ()

      배성원님 말씀대로 orthogonality는 inner product가 제로라고 이해하는 것이 낫습니다.  뭐 기하학적으로 인간의 경험 세계로 내려오면  기하학적으로 직교하는 벡타로 보면 되겠지만 수학적 세계는 경험의 세계가 아니라 상상의 세계이므로 정의를 바탕으로 이해하는 편이 좋습니다. 구지 이해하려한다면 n-dimensional space에 축이 n개 있을텐데 어"던 vectors들이 이런 n차원 벡터스페이스의 모든 점을 표현할 수 있는 단위벡터 중에서 서로 inner product가 0이 되는, 다시말하면 우리 경험세계에서 같이 서로 수직이되는 벡터들이라고 이해하면 될 것 같습니다.

  • 소요유 ()

      함수와 벡터 사이의 관계는 벡터의 하나의 표현이 함수라고 생각하면 좀더 편리해 집니다.  다만 함수가 벡터의 표현으로 도입되는 경우는 대개 그 벡터스페이스의 차원이 무한차원이되는 힐버트(힐베르트) 스페이스를 이룬다고 보면 됩니다.  사실 벡터스페이스의 수는 유한차원이더라도 무한개가 존재할 수 있습니다. 예를 들어 3차원, 즉 3개의 단위 벡터로 이루어진 벡터스페이스의 갯수는 사실 무한개가 되겠지요.  그래서 우리가 경험하는 세계만 3차원으로 생각하면 나머지를 이해하기 힘들 수도 있습니다. 물론 경험하는 3차원을 generalize하면 그게 벡터스페이스 긴 하지만요.

  • 배성원 ()

      벌써 벡터스페이스 관련 질문과 토론이 여러번 반복되는군요. 선형대수가 과연 얼마나 중요한 이공학의 기초학문인지 실감이 갑니다. 좀 더 확실히 해두어서 요럴때 좀더 명쾌하게 답변해주지 못하는 것이 참 아쉽습니다.

  • 배성원 ()

      참고로 함수간 inner product에 해당하는 것은 적분입니다. 아시겠지만....그것이 0이 되면 함수가 서로 orthogonal 하다고 하죠. 그런데 함수가 직교한다?고 생각하면 그때부터 그게 뭘까 고민하게 됩니다. 그냥 ..음.~inner product가 0 이어서 orthogoanl하구나~하고 고개를 끄덕여 보십시오....^^

  • ??? ()

      오소고날하다는건 상호의존성이 없다는 얘기고 그러면 그 (서로 오소고날한 관계의) 함수들을 다른 함수를 나타내는데 building block으로 쓸 수 있겠죠..

  • ??? ()

      힐버트 스페이스는 L^2가 유한인 무한차원 벡터공간입니다. L^2 유한이란 양은 어떤 변수에 대해 함수를 제곱한 값을 전공간(하나의 축에 대해서겠죠)에 대해 적분한 값인데 이것이 무한은 아니어야만 measure(양자역학의 경우 측정량)를 정의가능합니다.(그리고 물리량은 무한이어서는 안 되죠..)

  • ??? ()

      힐버트 스페이스는 가시가 아주 길고 많은 성게로 상상을 하면 알맞을것 같은데 어떤 상태함수가 각 가시(축)에 대해 프로젝션되고 그 값이 물리량에 해당할겁니다. 힐버트 스페이스를 양자역학에 최초로 도입한 사람이 누군지 잘 생각은 안 나지만 여러 수학적 공간중 양자역학을 기술하는데 적합해서 체택되었으며 수학에서 다뤄지는 공간중 상당히 일반적이고 쉬운 공간인걸로 알고..

  • ??? ()

      수학을 사고하는데 있어 물리적 상(실체처럼 느껴지는..)을 가지는게 도움이 된다고 생각합니다. 그런 연후에 형식(procedure)에 따라 생각해도 된다고 생각합니다. 우리나라 사람들이 보통 소요유님이 말씀하신 정의에 의한 사고를 잘 해서 대체로는 수학을 잘 하지만 대가는 안 나오는것 같습니다. 물리적 상을 가지는게 수학연구에 효과적이라는걸 에드워드 위튼이 입증해보이고 있다고 생각해요...

  • ??? ()

      저도 양자컴퓨터를 공부해본적은 없지만, EPR 패러독스, 벨의 부등식과 연관된 국소성의 원리가 이의 이해에 중요한지(필수인지) 어떤지 말씀해주실 분 없을까요.

  • ??? ()

      양자컴퓨터에 관심있는 분들은 www.freechal.com/gallileo의 양자계산/암호 게시판으로 가보시죠.(지금 마침 토론이 진행되고 있습니다.) 전에 이곳을 알렸더니 예의 "물리같은거 해서 뭐하냐"는 게시물이 올라와 알리는게 꺼려지기는 합니다만..

  • 사색자 ()

      괜히 저때문에 본질문자의 바램과는 다른쪽으로 치우친감이 있어 죄송합니다. 성원님과 공돌이님, 소요유님, 과학도님 모두 감사드립니다. orthogonal, orthonormal같은 수학적 의미들은 개념정의 자체로서 이해를 시도해보면 어렵지 않은데 성원님 말씀처럼 그것이 함축하는 수학적/물리적 의미를 이해해볼려고 시도하는 순간부터 개념의 밑뿌리까지 다시 흔들리는것을 느낍니다. 직교라는 단어에서 나오는 기하학적 편견에 사로잡히는 순간부터는 헤매게 되고요. 역시 수학은 열심히했어야하는데... 훌쩍...

  • ??? ()

      글쎄요.. 죄송해하실 필요없다고 보는데요. 저는 이런식으로 얘기거리가 많아지는게 즐거워요. 배울것도 많고 생각도 하게되니까요.(다른분들도 그러실걸요..)

  • 바고성 ()

      다들 감사 합니다... 제가 모르는 많은 것에 대해서 들을 수 있어서 기쁩니다.. www.freechal.com/gallileo 여기 잘못된 주소 인가요? 없다고 나오는군요..

  • 허크 ()

      orthogonal이라는 것이 매우 많이 쓰이고 중요한 것인 것 같습니다. wavelet에서도 많이 언급되더군요..

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