함수가 공간위에 정의되어 있을 때, 특정한 성질을 만족하는 어떠한 함수가 정해진 공간사이에 존재하느냐 하는게 가장 처음 입니다.

예를 들어, 다양체 M과 N이 있을 때, 만일 N이 compact manifold 이고, M은 open 이라고 가정 할 때, 여기에서 정의 되는 함수 f

f : M ---> N

의 성질이 공간의 성질에 따라 제한을 받게 됩니다. 이유는 정해진 공간 M과 N의 위상적인 특성 때문입니다. 따라서, 존재하는 함수의 성질이 제한되고, 그러한 함수의 집합를 분류할 수 있으며, 성질을 연구할 수 있게 됩니다. M = N 일 경우도 물론 그렇고요.

기하학적인 성질이 함수의 성질을 제한한다는 것은 임의의 함수가 전부 다 존재할 수 있는게 아니다 라는 이야기고요. 그 제한을 하는 것이 공간의 성질이다 라는 것입니다. 이게 시작입니다.

그런데, 이것은 이야기의 끝이 아니라 시작입니다. 다시 말해, 그런 존재가능한 함수만 하더라도 일반적으로 무한 차원 (무한개 라는 정도가 아니라 어떤 집합으로 분류했을 때, 보통 함수공간은 무한 차원이 됩니다)이기 때문에 특정한 함수의 클래스를 잡아서 연구하는 것을 공간의 성질과 연계 시키는 것은 수 많은 연구주제를 만들 수 있습니다.

만일 복소 다양체를 연구한다면, 다양체의 coordinate map 이 복소해석함수(complex analytic function) 이고, transition map 역시 복소해석함수가 됩니다.

여기서 해석함수는 일반 미분가능 함수가 아니라, 각각의 점에서 Taylor 급수가 전개 가능한 함수입니다. 물론 실해석함수(real analytic function)도 존재하는데, 이걸 복소수화(complexification) 한 것으로 볼 수 있습니다. 이 함수는 일반 무한번 미분가능한 함수의 진부분집합에 속합니다.

이 해석함수의 공간은 일반적으로 매우 독특한 좋은 구조를 가지고 있습니다. 따라서, 하나의 별도분야가 성립합니다.

숫자가 아니라, 함수, 그것도 단일한 하나하나의 함수를 연구하는게 아니라 어떠한 특별 성질을 만족하는 함수 전체를 모아놓은 함수집합의 불변하는 성질을 특정공간에서 연구하는게 됩니다.