복소 다양체의 존재성 (당연한 이야기?)
- 글쓴이
- 남영우
- 등록일
- 2010-06-22 00:51
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간단한 문제인데요. 이건 수학에서 이야기하는 다양체를 어떠한 함수방정식의 해집합으로 볼 때의 이야기입니다.
f(x,y,z,w,...a) = 0 (함수는 미분가능 또는 여러번 미분가능, 무한번 미분가능, analytic 등 미분가능 조건을 줍니다)
라는 다변수 함수식이 있을 때, 해가 존재한다는 가정하에 (x^2 + y^2 = -1, x, y 는 실수, 이런 방정식은 해가 없음)
해를 몽땅 모아놓은 집합을 생각합니다.
그럼 이러한 집합이 다양체 구조를 가지느냐 하는 것인데요. 가집니다.
그런데, 이건 그냥 다변수 미적분학에 나오는 implicit function theorem 입니다. 증명과정을 보면 그냥 그걸로 끝납니다. 공집합만 아니면 (다시말해 해가 존재하면) 해집합은 다양체 구조를 가지고, 주어진 함수와 동일한 정도의 differentiability 를 가집니다.
일반적으로 다변수 미적분학은 1번 미분가능 부터 보통 유한번 미분 가능한 함수의 경우를 설명합니다.
하지만, implicit function theorem 자체는 무한번 미분가능(smooth 라고 함) 함수일 경우도 성립하고, 해집합 또한 smooth manifold 가 되고요. 복소함수론을 보면 analytic version 도 나옵니다. 굳이 이름을 붙이자면 holomorphic implicit function theorem 이 되는데, 변수가 하나일 경우(1차원 복소 다양체 = 리만곡면)일 때 성립하고, 다변수 일때는 각각의 변수가 holomorphic 이면 되므로, 역시 성립하게 됩니다.
따라서, 복소 다양체 자체의 존재는 아무 다양할 수 밖에 없습니다. 문제는 그 다양체가 가지는 고유한 구조가 됩니다.
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전문가 입장에서 보면 워낙 당연한 이야기라서 무슨 연구 주제가 아니므로, 그런 부분은 아예 생략을 하고 그 다음이나 다음다음 단계에서 introduction 부터 시작하곤 합니다.
하지만, 질문 자체는 원래 존재성부터 시작합니다.
예를 들어, 함수방정식이 아니라 미분방정식일 경우는 사실 해의 존재성과 그 존재성을 밝히는 것이 큰 문제가 될 수도 있습니다. 상당수의 방정식은 해가 없기 때문이죠.
f(x,y,z,w,...a) = 0 (함수는 미분가능 또는 여러번 미분가능, 무한번 미분가능, analytic 등 미분가능 조건을 줍니다)
라는 다변수 함수식이 있을 때, 해가 존재한다는 가정하에 (x^2 + y^2 = -1, x, y 는 실수, 이런 방정식은 해가 없음)
해를 몽땅 모아놓은 집합을 생각합니다.
그럼 이러한 집합이 다양체 구조를 가지느냐 하는 것인데요. 가집니다.
그런데, 이건 그냥 다변수 미적분학에 나오는 implicit function theorem 입니다. 증명과정을 보면 그냥 그걸로 끝납니다. 공집합만 아니면 (다시말해 해가 존재하면) 해집합은 다양체 구조를 가지고, 주어진 함수와 동일한 정도의 differentiability 를 가집니다.
일반적으로 다변수 미적분학은 1번 미분가능 부터 보통 유한번 미분 가능한 함수의 경우를 설명합니다.
하지만, implicit function theorem 자체는 무한번 미분가능(smooth 라고 함) 함수일 경우도 성립하고, 해집합 또한 smooth manifold 가 되고요. 복소함수론을 보면 analytic version 도 나옵니다. 굳이 이름을 붙이자면 holomorphic implicit function theorem 이 되는데, 변수가 하나일 경우(1차원 복소 다양체 = 리만곡면)일 때 성립하고, 다변수 일때는 각각의 변수가 holomorphic 이면 되므로, 역시 성립하게 됩니다.
따라서, 복소 다양체 자체의 존재는 아무 다양할 수 밖에 없습니다. 문제는 그 다양체가 가지는 고유한 구조가 됩니다.
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전문가 입장에서 보면 워낙 당연한 이야기라서 무슨 연구 주제가 아니므로, 그런 부분은 아예 생략을 하고 그 다음이나 다음다음 단계에서 introduction 부터 시작하곤 합니다.
하지만, 질문 자체는 원래 존재성부터 시작합니다.
예를 들어, 함수방정식이 아니라 미분방정식일 경우는 사실 해의 존재성과 그 존재성을 밝히는 것이 큰 문제가 될 수도 있습니다. 상당수의 방정식은 해가 없기 때문이죠.
