위상 수학부터 시작을 하는게 조금 이해하기 쉬울 것 같습니다. 이전에 제가 썼던 어느 글과 중복되는 내용인데요. 약간의 보충을 겸해서 설명합니다.

일단, 위상수학적인 분류부터 봅니다. (orientable surface 만 보는데, complex structure 를 가지는 곡면은 전부 orientation preserving 이기 때문입니다.) 아래 위키 링크를 보면

http://en.wikipedia.org/wiki/Genus_(mathematics)

그림에 잘 나타나 있습니다.  구멍의 개수, 즉 genus 를 늘려가면, 그것이 그대로 compact surface 를 전부 위상수학적으로 분류한게 됩니다. genera 가 같은 곡면끼리는 homeomorphism 이 존재하기 때문에 위상적 분류로는 그냥 genera 가 같은 surface 는 하나만 있다고 봐도 큰 문제는 없죠. 물론, 각 곡면사이에 존재하는 homeomorphism 자체는 아주 큰 무한차원의 공간이기 때문에 이걸 분류하고 연구하는 것은 곡면의 분류와 연관되면서도 그와는 상당히 다른 주제입니다.

한 가지 예를 들자면, low dimensional topology 에서 다루는 mapping class group 에 관한 연구가 여기에 해당이 됩니다. 여기에 관한 이야기는 다른 전문가의 의견을 기다립니다.

그런데, 도넛의 구멍의 개수에 해당하는 이러한 genus 를 임의로 아무 숫자나 고정시켜 놓고, 매끈한 곡면을 하나 선택했을 때 complex structure 를 가지는게 있냐고 묻는다면, 그런 것은 항상 존재합니다. 하지만, 특정한 방정식의 해집합으로서의 Riemann surface 는 거리공간의 변화없이 보통 3차원 실수 공간에 완전히 표현되지 않는데, (구면과 토러스를 제외한 genus 가 2보다 크거나 같은 경우는) 적합한 hyperbolic metric 을 주면 위상적 모델처럼 그렇게 표현이 가능합니다. 또한 그러한hyperbolic metric 을 항상 줄 수 있다는 정리를 uniformization theorem 이라고 합니다.

참고로, 리만 곡면의 예는 아래 링크에 묘사되어 있습니다. hyperbolic metric 을 주지않고, 복소평면 X 세로축 위에 리만곡면을 묘사하면 그림에 나오듯이 대략적으로 그렇게 되는 것을 보여 줍니다. 일반적으로 3차원 실수공간에 모양의 변형없이 집어넣을 수가 없으므로, 실제로 겹치지 않는 부분이 겹쳐지는 것 처럼 묘사됩니다.

http://library.wolfram.com/examples/riemannsurface/RSFRiemannSphere.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface


(참고로, 이게 끝이 아니고 수학이론의 시작입니다. 여기까지 정리가 쉽다는게 아니라 이런 기반이 있으므로, 이론이 여기서부터 다시 발전한다는 그런 의미입니다.)

그런데, 위상적 분류와 복소해석학적인 분류가 차이가 있습니다.

예를 들어, genus = 1 인 토러스 (구멍이 하나있는 던킨 도넛 표면)의 경우 임의의 두 토러스 사이에 연속함수로 변형하여 항상 한 토러스에서 다른 토러스로 만드는게 가능합니다. 달리 말하자면 homoemorphism(연속함수이면서 전단사 함수, 그리고 그 역함수도 연속인 함수)에 의한 변형이 늘 가능하다는 관점에서 보면, 위상적인 토러스는 한 개 있다고 볼 수도 있습니다.

그런데, 이걸 복소함수로 놓으면 전혀 안그렇게 됩니다. (genus 가 2보다 크거나 같은 경우도 유사하게 내용을 전개할 수 있습니다)

무슨 이야기냐 하면 서로 다른 모양의 토러스 사이에 biholomorphism (holomorphic bijection and it's inverse is also holomorphic) 이 존재하지 않을 수 있습니다. 다시 말해 토러스인데 holomorphic function 의 관점에서 보면 서로 다른 곡면이 됩니다.

이유는  토러스를 만들때, 직사각형을 하나 놓고 마주보는 변을 같은 방향으로 붙여서 만든다고 볼 수 있습니다.

이 때, 두 개의 토러스 사이에서 정의되는 함수는 정의역과 치역에 직사각형 두 개 놓고, 그 사이의 함수를 보는 것과 동일합니다.

이 때, 직사각형은 변을 나중에 붙여야 하므로, 함수가 사각형의 내부 뿐만이 아니라 사각형의 변까지 포함해서 정의해야 합니다. 또한, 나중에 변끼리 붙이는 그 부분에서 함수의 이미지는 동일해야 합니다. 그리고, 네개의 꼭지점은 붙이면 한 점이 되므로,  함수에 의한 정의역 사각형의 각 꼭지점의 이미지는 치역 사각형의 꼭지점이 된다고 가정합니다.

만일 변을 제외한 사각형 안쪽만 생각하면, Riemann mapping theorem 에 의해서 항상 biholomorphism 이 존재합니다. 그런데, 변을 포함할 경우 하나는 정사각형 다른 하나는 직사각형 이럴때, 또는 직사각형을 두개 놓는데, 크기 조정을 해서 높이는 같게 하고, 밑변의 길이가 다를때,

두 개의 다른 직사각형 사이에 biholomrophism 이 존재하냐 하면 존재하지 않습니다! 두개의 사각형이 같아야만 됩니다. (크기를 조정하기 전이라면 사각형 두개가 닮은꼴이어야만 됩니다)

따라서, 이러한 holomorphism 이 존재하는 곡면들을 모두 모아 하나의 점으로 생각하는데, 이 때 이 점들을 모두 모은 이러한 공간을 곡면의 moduli space 라고 하고, 이것도 다양체 구조를 가지고요. genus 가 2 이상인 경우는 이 moduli space 의 복소 차원이 3g-3 (g >2 or g=2) 이 된다는 등의 사실이 알려져 있습니다.

사실, moduli space 자체는 꼭 곡면에서만 정의되는 것은 아니고, 특정 공간에 따라 일반적으로 정의할 수 있습니다. 어쨌거나, moduli space 라는 이 주제를 연구하는 것 자체가 하나의 분야로 되어있습니다. 각각의 moduli space 를 연구하기 위해서 접근하는 방법만 4가지는 될 것입니다. (위상, 기하, 대수, 해석적 방법)

여하튼 그런 식으로 리만 곡면 위의 어떤 대상(object)을 연구하는데, 그 시작점에서 곡면자체의 분류나 기본 성질이 잘 알려져 있습니다.

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그런데, 이게 다변수 복소해석학이나 복소기하학으로 가면, 1차원 복소다양체(리만 곡면)처럼 그런 식의 완전한 분류가 이루어진 것을 바탕으로 시작하지 못한다는 것인데요. 이것은 차원이 늘어나면서 다양체의 구조가 무지무지하게 많은 종류가 생기거나 복잡해 질 수 있기 때문입니다.

단지, 그렇기 때문만이 아니라 변수가 하나인 복소함수와 다변수 복소함수의 중요한 차이가 있습니다.

제가 보기에 가장 중요한 차이는

다변수 복소함수는 Riemann mapping theorem 이 존재하지 않습니다. 다변수 복소함수는 각각의 변수에 대해서 holomorphic 인 함수를 지칭하는데도 그렇습니다. 예를 들어 복소함수로 정의된 두 집합

|z|^2 + |w|^2 < 1 을 만족하는 2변수 복소해의 집합 (그냥 실수 4차원 공입니다) 하고

|z|<1 and |w|<1 을 만족하는 집합 (polydisk 라고 함) 사이에 biholomorphism 이 존재하지 않습니다.

위상적으로 보면 둘 다 실수 4차원 볼이니까 homeomorphism 이 존재합니다. 심지어 두 개의 볼은 diffeomorphism 이 존재하기 때문에 무한번 미분가능한 실수 4차원 함수도 존재합니다.

그리고, 위의 첫번째 집합인 공을 아주 smooth 하게 변형시켜도 원래 공과 변형된 공 사이에 holomorphic function 이 일반적으로 존재하지 않습니다. 다시말해, 공 하나만 조금씩 변형시켜도 complex structure 가 변하게 됩니다.

따라서, 리만 곡면의 분류와 같은 식의 위상적 분류에서 출발하여 다변수 복소함수나 2차원 이상의 복소다양체를 이해하는 방법으로 쓸 수가 없습니다.

이런 점이 어렵다면 어려울 수 있습니다.